미적분 예제

$f (x) = \tan^{2} (x)$ , $(- \frac{π}{4}, 1)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = - \frac{π}{4}$ , $y = 1$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \tan (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\tan (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

단계 1.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $\tan (x)$ 로 바꿉니다.

$2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

단계 1.2

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$2 \tan (x) \sec^{2} (x)$

단계 1.3

$2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

단계 1.4

$x = - \frac{π}{4}$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$2 \sec^{2} (- \frac{π}{4}) \tan (- \frac{π}{4})$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 더합니다.

$2 \sec^{2} (\frac{7 π}{4}) \tan (- \frac{π}{4})$

단계 1.5.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$2 \sec^{2} (\frac{π}{4}) \tan (- \frac{π}{4})$

단계 1.5.3

$\sec (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 입니다.

$2 {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

단계 1.5.4

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$2 {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

단계 1.5.5

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 1.5.5.1

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

단계 1.5.5.2

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

단계 1.5.5.3

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

단계 1.5.5.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

단계 1.5.5.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

단계 1.5.5.6

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 1.5.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

단계 1.5.5.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

단계 1.5.5.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

단계 1.5.5.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.5.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

단계 1.5.5.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

단계 1.5.5.6.5

지수값을 계산합니다.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

단계 1.5.6

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.6.1

공약수로 약분합니다.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

단계 1.5.6.2

$\sqrt{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

단계 1.5.7

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 1.5.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

단계 1.5.7.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (- \frac{π}{4})$

단계 1.5.7.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (- \frac{π}{4})$

단계 1.5.7.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.7.4.1

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (- \frac{π}{4})$

단계 1.5.7.4.2

수식을 다시 씁니다.

$2 \cdot 2^{1} \tan (- \frac{π}{4})$

단계 1.5.7.5

지수값을 계산합니다.

$2 \cdot 2 \tan (- \frac{π}{4})$

단계 1.5.8

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 \tan (- \frac{π}{4})$

단계 1.5.9

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 더합니다.

$4 \tan (\frac{7 π}{4})$

단계 1.5.10

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제4사분면에서 탄젠트가 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$4 (- \tan (\frac{π}{4}))$

단계 1.5.11

$\tan (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$4 (- 1 \cdot 1)$

단계 1.5.12

$4 (- 1 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

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단계 1.5.12.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 \cdot - 1$

단계 1.5.12.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 4$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $- 4$ 과 주어진 점 $(- \frac{π}{4}, 1)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (1) = - 4 \cdot (x - (- \frac{π}{4}))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 1 = - 4 \cdot (x + \frac{π}{4})$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$- 4 \cdot (x + \frac{π}{4})$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 1 = 0 + 0 - 4 \cdot (x + \frac{π}{4})$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 1 = - 4 \cdot (x + \frac{π}{4})$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 1 = - 4 x - 4 \frac{π}{4}$

단계 2.3.1.4

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.1.4.1

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y - 1 = - 4 x + 4 (- 1) \frac{π}{4}$

단계 2.3.1.4.2

공약수로 약분합니다.

$y - 1 = - 4 x + 4 \cdot - 1 \frac{π}{4}$

단계 2.3.1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$y - 1 = - 4 x - 1 π$

단계 2.3.1.5

$- 1 π$ 을 $- π$ 로 바꿔 씁니다.

$y - 1 = - 4 x - π$

단계 2.3.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$y = - 4 x - π + 1$

단계 3