미적분 예제

$\int x^{3} \sqrt[3]{x^{2} + 4} d x$

단계 1

먼저 $u = x^{2} + 4$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = x^{2} + 4$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$x^{2} + 4$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.1.4

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$2 x + 0$

단계 1.1.5

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int {\sqrt{u - 4}}^{2} \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

단계 2

식을 간단히 합니다.

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단계 2.1

간단히 합니다.

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단계 2.1.1

${\sqrt{u - 4}}^{2}$ 을 $u - 4$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 2.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u - 4}$ 을(를) ${(u - 4)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int {({(u - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

단계 2.1.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int {(u - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

단계 2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\int {(u - 4)}^{\frac{2}{2}} \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

단계 2.1.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.1.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\int {(u - 4)}^{\frac{2}{2}} \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

단계 2.1.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\int {(u - 4)}^{1} \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

단계 2.1.1.5

간단히 합니다.

$\int (u - 4) \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

단계 2.1.2

$\frac{1}{2}$ 와 $\sqrt[3]{u}$ 을 묶습니다.

$\int (u - 4) \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

단계 2.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int (u - 4) \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int u \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

단계 3.2

$u$ 와 $\frac{u^{\frac{1}{3}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{u \cdot u^{\frac{1}{3}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

단계 3.3

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \frac{u^{1} u^{\frac{1}{3}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

단계 3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int \frac{u^{1 + \frac{1}{3}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

단계 3.5

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\int \frac{u^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

단계 3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int \frac{u^{\frac{3 + 1}{3}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

단계 3.7

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

단계 3.8

$- 4$ 와 $\frac{u^{\frac{1}{3}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{2} + \frac{- 4 u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$- 4 u^{\frac{1}{3}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{2} + \frac{2 (- 2 u^{\frac{1}{3}})}{2} d u$

단계 4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{2} + \frac{2 (- 2 u^{\frac{1}{3}})}{2 (1)} d u$

단계 4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{2} + \frac{2 (- 2 u^{\frac{1}{3}})}{2 \cdot 1} d u$

단계 4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{2} + \frac{- 2 u^{\frac{1}{3}}}{1} d u$

단계 4.2.4

$- 2 u^{\frac{1}{3}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{2} - 2 u^{\frac{1}{3}} d u$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{2} d u + \int - 2 u^{\frac{1}{3}} d u$

단계 6

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{4}{3}} d u + \int - 2 u^{\frac{1}{3}} d u$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{4}{3}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C) + \int - 2 u^{\frac{1}{3}} d u$

단계 8

$- 2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C) - 2 \int u^{\frac{1}{3}} d u$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{3}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C) - 2 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} - 2 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$

단계 10.2

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} - 2 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$ 을 $\frac{3}{14} u^{\frac{7}{3}} - 2 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3}{14} u^{\frac{7}{3}} - 2 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$

단계 10.3

간단히 합니다.

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단계 10.3.1

$- 2$ 와 $\frac{3}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{14} u^{\frac{7}{3}} + \frac{- 2 \cdot 3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

단계 10.3.2

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{14} u^{\frac{7}{3}} + \frac{- 6}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

단계 10.3.3

$- 6$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.3.3.1

$- 6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3}{14} u^{\frac{7}{3}} + \frac{2 (- 3)}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

단계 10.3.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 10.3.3.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3}{14} u^{\frac{7}{3}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2} u^{\frac{4}{3}} + C$

단계 10.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3}{14} u^{\frac{7}{3}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2} u^{\frac{4}{3}} + C$

단계 10.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3}{14} u^{\frac{7}{3}} + \frac{- 3}{2} u^{\frac{4}{3}} + C$

단계 10.3.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{3}{14} u^{\frac{7}{3}} - \frac{3}{2} u^{\frac{4}{3}} + C$

단계 11

$u$ 를 모두 $x^{2} + 4$ 로 바꿉니다.

$\frac{3}{14} {(x^{2} + 4)}^{\frac{7}{3}} - \frac{3}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{4}{3}} + C$