미적분 예제

$\int z^{7} (10 z^{8} - 4) d z$

단계 1

먼저 $u = z^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 z d z$ 이므로 $\frac{1}{2 z} d u = d z$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = z^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d z}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$z^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d z} [z^{2}]$

단계 1.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 는 $n z^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 z$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int {\sqrt{u}}^{6} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

${\sqrt{u}}^{6}$ 을 $u^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{6} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

단계 2.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot 6} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

단계 2.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $6$ 을 묶습니다.

$\int u^{\frac{6}{2}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

단계 2.1.4

$6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.1.4.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{2}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

단계 2.1.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.1.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

단계 2.1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

단계 2.1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int u^{\frac{3}{1}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

단계 2.1.4.2.4

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\int u^{3} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

단계 2.2

${\sqrt{u}}^{8}$ 을 $u^{4}$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int u^{3} (5 {(u^{\frac{1}{2}})}^{8} - 2) d u$

단계 2.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int u^{3} (5 u^{\frac{1}{2} \cdot 8} - 2) d u$

단계 2.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $8$ 을 묶습니다.

$\int u^{3} (5 u^{\frac{8}{2}} - 2) d u$

단계 2.2.4

$8$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.4.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int u^{3} (5 u^{\frac{2 \cdot 4}{2}} - 2) d u$

단계 2.2.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int u^{3} (5 u^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}} - 2) d u$

단계 2.2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int u^{3} (5 u^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}} - 2) d u$

단계 2.2.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int u^{3} (5 u^{\frac{4}{1}} - 2) d u$

단계 2.2.4.2.4

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\int u^{3} (5 u^{4} - 2) d u$

단계 3

$u^{3} (5 u^{4} - 2)$ 을 전개합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int u^{3} (5 u^{4}) + u^{3} \cdot - 2 d u$

단계 3.2

$u^{3}$ 와 $5$ 을 다시 정렬합니다.

$\int 5 \cdot u^{3} u^{4} + u^{3} \cdot - 2 d u$

단계 3.3

$u^{3}$ 와 $- 2$ 을 다시 정렬합니다.

$\int 5 \cdot u^{3} u^{4} - 2 \cdot u^{3} d u$

단계 3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int 5 u^{3 + 4} - 2 u^{3} d u$

단계 3.5

$3$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\int 5 u^{7} - 2 u^{3} d u$

단계 4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int 5 u^{7} d u + \int - 2 u^{3} d u$

단계 5

$5$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 \int u^{7} d u + \int - 2 u^{3} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{7}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{8} u^{8}$ 가 됩니다.

$5 (\frac{1}{8} u^{8} + C) + \int - 2 u^{3} d u$

단계 7

$- 2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 (\frac{1}{8} u^{8} + C) - 2 \int u^{3} d u$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $u^{3}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} u^{4}$ 가 됩니다.

$5 (\frac{1}{8} u^{8} + C) - 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

간단히 합니다.

$5 (\frac{1}{8}) u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$

단계 9.2

$5 (\frac{1}{8}) u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$ 을 $\frac{5}{8} u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{5}{8} u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$

단계 9.3

간단히 합니다.

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단계 9.3.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{- 2}{4} u^{4} + C$

단계 9.3.2

$- 2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{2 (- 1)}{4} u^{4} + C$

단계 9.3.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 9.3.2.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C$

단계 9.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C$

단계 9.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{- 1}{2} u^{4} + C$

단계 9.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{5}{8} u^{8} - \frac{1}{2} u^{4} + C$

단계 10

$u$ 를 모두 $z^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{5}{8} {(z^{2})}^{8} - \frac{1}{2} {(z^{2})}^{4} + C$