미적분 예제

$\int_{1}^{2} 2 x (1 + x^{2}) d x$

단계 1

먼저 $u = 1 + x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2 x} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = 1 + x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$1 + x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $1 + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 2 x$

단계 1.1.5

$0$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 1.2

$u = 1 + x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 1 + 1^{2}$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{lower} = 1 + 1$

단계 1.3.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 2$

단계 1.4

$u = 1 + x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1 + 2^{2}$

단계 1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$u_{upper} = 1 + 4$

단계 1.5.2

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 5$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 5$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{2}^{5} u d u$

단계 2

멱의 법칙에 의해 $u$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} u^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} u^{2}]_{2}^{5}$

단계 3

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$5$ , $2$ 일 때, $\frac{1}{2} u^{2}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{2} \cdot 5^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

단계 3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} \cdot 25 - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

단계 3.2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $25$ 을 묶습니다.

$\frac{25}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

단계 3.2.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{25}{2} - \frac{1}{2} \cdot 4$

단계 3.2.4

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{25}{2} - 4 (\frac{1}{2})$

단계 3.2.5

$- 4$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{25}{2} + \frac{- 4}{2}$

단계 3.2.6

$- 4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.6.1

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

단계 3.2.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.6.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

단계 3.2.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

단계 3.2.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{25}{2} + \frac{- 2}{1}$

단계 3.2.6.2.4

$- 2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{25}{2} - 2$

단계 3.2.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{25}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

단계 3.2.8

$- 2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{25}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

단계 3.2.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{25 - 2 \cdot 2}{2}$

단계 3.2.10

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.10.1

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{25 - 4}{2}$

단계 3.2.10.2

$25$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{21}{2}$

단계 4

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{21}{2}$

소수 형태:

$10.5$

대분수 형식:

$10 \frac{1}{2}$

단계 5