미적분 예제

$\frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

단계 1

$\frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

단계 4

부분 분수 분해를 사용하여 분수를 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $A$ 를 적습니다.

$\frac{A}{{(2 x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.2

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $B$ 를 적습니다.

$\frac{A}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{B}{2 x - 1}$

단계 4.1.3

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 ${(2 x - 1)}^{2}$ 입니다.

$\frac{(4 x - 1) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} = \frac{(A) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

단계 4.1.4

${(2 x - 1)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(4 x - 1) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} = \frac{(A) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

단계 4.1.4.2

$4 x - 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 x - 1 = \frac{(A) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

단계 4.1.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.5.1

${(2 x - 1)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.5.1.1

공약수로 약분합니다.

$4 x - 1 = \frac{A {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

단계 4.1.5.1.2

$A$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 x - 1 = A + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

단계 4.1.5.2

${(2 x - 1)}^{2}$ 및 $2 x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.5.2.1

$(B) {(2 x - 1)}^{2}$ 에서 $2 x - 1$ 를 인수분해합니다.

$4 x - 1 = A + \frac{(2 x - 1) (B (2 x - 1))}{2 x - 1}$

단계 4.1.5.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.5.2.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$4 x - 1 = A + \frac{(2 x - 1) (B (2 x - 1))}{(2 x - 1) \cdot 1}$

단계 4.1.5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$4 x - 1 = A + \frac{(2 x - 1) (B (2 x - 1))}{(2 x - 1) \cdot 1}$

단계 4.1.5.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$4 x - 1 = A + \frac{B (2 x - 1)}{1}$

단계 4.1.5.2.2.4

$B (2 x - 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 x - 1 = A + B (2 x - 1)$

단계 4.1.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$4 x - 1 = A + B (2 x) + B \cdot - 1$

단계 4.1.5.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$4 x - 1 = A + 2 B x + B \cdot - 1$

단계 4.1.5.5

$B$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$4 x - 1 = A + 2 B x - 1 \cdot B$

단계 4.1.5.6

$- 1 B$ 을 $- B$ 로 바꿔 씁니다.

$4 x - 1 = A + 2 B x - B$

단계 4.1.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.1

$B$ 를 옮깁니다.

$4 x - 1 = A + 2 x B - B$

단계 4.1.6.2

$A$ 와 $2 x B$ 을 다시 정렬합니다.

$4 x - 1 = 2 x B + A - B$

단계 4.2

부분분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

방정식의 각 변의 $x$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$4 = 2 B$

단계 4.2.2

$x$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$- 1 = A - 1 B$

단계 4.2.3

부분분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$4 = 2 B$

$- 1 = A - 1 B$

$4 = 2 B$

$- 1 = A - 1 B$

단계 4.3

연립방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$4 = 2 B$ 의 $B$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.1

$2 B = 4$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$2 B = 4$

$- 1 = A - 1 B$

단계 4.3.1.2

$2 B = 4$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.2.1

$2 B = 4$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 B}{2} = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

단계 4.3.1.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 B}{2} = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

단계 4.3.1.2.2.1.2

$B$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$B = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

$B = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

$B = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

단계 4.3.1.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.2.3.1

$4$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

단계 4.3.2

각 방정식에서 $B$ 를 모두 $2$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$- 1 = A - 1 B$ 의 $B$ 를 모두 $2$ 로 바꿉니다.

$- 1 = A - 1 \cdot 2$

$B = 2$

단계 4.3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 1 = A - 2$

$B = 2$

$- 1 = A - 2$

$B = 2$

$- 1 = A - 2$

$B = 2$

단계 4.3.3

$- 1 = A - 2$ 의 $A$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

$A - 2 = - 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$A - 2 = - 1$

$B = 2$

단계 4.3.3.2

$A$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.2.1

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$A = - 1 + 2$

$B = 2$

단계 4.3.3.2.2

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

단계 4.3.4

연립방정식을 풉니다.

$A = 1 B = 2$

단계 4.3.5

모든 해를 나열합니다.

$A = 1, B = 2$

단계 4.4

$A$ , $B$ 에 대해 구한 값을 $\frac{A}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{B}{2 x - 1}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$\frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{2}{2 x - 1}$

단계 4.5

수식에서 0을 제거합니다.

$\int \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{2}{2 x - 1} d x$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} d x + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

단계 6

먼저 $u_{1} = 2 x - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$u_{1} = 2 x - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$2 x - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

단계 6.1.2

합의 법칙에 의해 $2 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 6.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 6.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 6.1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 6.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.4.1

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$2 + 0$

단계 6.1.4.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2$

단계 6.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$\frac{1}{{u_{1}}^{2}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2} \cdot 2} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

단계 7.2

${u_{1}}^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int \frac{1}{2 {u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

단계 8

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

단계 9

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

${u_{1}}^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

단계 9.2

${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

단계 9.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

단계 10

멱의 법칙에 의해 ${u_{1}}^{- 2}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $- {u_{1}}^{- 1}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

단계 11

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

단계 12

먼저 $u_{2} = 2 x - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$u_{2} = 2 x - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1

$2 x - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

단계 12.1.2

합의 법칙에 의해 $2 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 12.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 12.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 12.1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 12.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.4.1

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$2 + 0$

단계 12.1.4.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2$

단계 12.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 13

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$\frac{1}{u_{2}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

단계 13.2

$u_{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

단계 14

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

단계 15

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 15.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 15.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 15.3

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 16

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \ln (| u_{2} |) + C$

단계 17

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u_{1}}) + \ln (| u_{2} |) + C$

단계 17.2

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{u_{1}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2 u_{1}} + \ln (| u_{2} |) + C$

단계 18

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.1

$u_{1}$ 를 모두 $2 x - 1$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{2 (2 x - 1)} + \ln (| u_{2} |) + C$

단계 18.2

$u_{2}$ 를 모두 $2 x - 1$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{2 (2 x - 1)} + \ln (| 2 x - 1 |) + C$

단계 19

답은 함수 $f (x) = \frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $- \frac{1}{2 (2 x - 1)} + \ln (| 2 x - 1 |) + C$