미적분 예제

$\int_{1}^{2} 2 x^{2} \sqrt{x^{3} + 1} d x$

단계 1

먼저 $u = x^{3} + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 x^{2} d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = x^{3} + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$x^{3} + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $x^{3} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$3 x^{2} + 0$

단계 1.1.5

$3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 x^{2}$

단계 1.2

$u = x^{3} + 1$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 1^{3} + 1$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{lower} = 1 + 1$

단계 1.3.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 2$

단계 1.4

$u = x^{3} + 1$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2^{3} + 1$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$u_{upper} = 8 + 1$

단계 1.5.2

$8$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 9$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 9$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{2}^{9} 2 \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{3}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\int_{2}^{9} \frac{2}{3} \sqrt{u} d u$

단계 2.2

$\frac{2}{3}$ 와 $\sqrt{u}$ 을 묶습니다.

$\int_{2}^{9} \frac{2 \sqrt{u}}{3} d u$

단계 3

$\frac{2}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{2}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{2}{3} \int_{2}^{9} \sqrt{u} d u$

단계 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{2}{3} \int_{2}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{2}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{2}^{9}$

단계 6

식을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$9$ , $2$ 일 때, $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 값을 계산합니다.

$\frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2

간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.4

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

단계 6.3

간단히 합니다.

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단계 6.3.1

$\frac{2}{3}$ 와 $27$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

단계 6.3.2

$2$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

단계 6.3.3

$54$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.3.1

$54$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

단계 6.3.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.3.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

단계 6.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

단계 6.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{3} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

단계 6.3.3.2.4

$18$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

단계 6.4

간단히 합니다.

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단계 6.4.1

$2^{\frac{3}{2}}$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

단계 6.4.2

지수를 더하여 $2^{\frac{3}{2}}$ 에 $2$ 을 곱합니다.

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단계 6.4.2.1

$2^{\frac{3}{2}}$ 에 $2$ 을 곱합니다.

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단계 6.4.2.1.1

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{1}}{3})$

단계 6.4.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3}{2} + 1}}{3})$

단계 6.4.2.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3})$

단계 6.4.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3 + 2}{2}}}{3})$

단계 6.4.2.4

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{2}{3} \cdot (18 - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

소수 형태:

$10.74292127 \dots$