미적분 예제

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} - e}{x^{2} - 1}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 1} x e^{x} - e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$x$ 가 $1$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 1} x e^{x} - lim_{x \to 1} e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

단계 1.1.2.2

$x$ 가 $1$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} e^{x} - lim_{x \to 1} e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

단계 1.1.2.3

극한을 지수로 옮깁니다.

$\frac{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

단계 1.1.2.4

$x$ 가 $1$ 에 가까워질 때 상수값 $e$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x} - e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

단계 1.1.2.5

$x$ 가 있는 모든 곳에 $1$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.1

$x$ 에 $1$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1 \cdot e^{lim_{x \to 1} x} - e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

단계 1.1.2.5.2

$x$ 에 $1$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1 \cdot e^{1} - e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

단계 1.1.2.6

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.6.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.6.1.1

$e^{1}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{1} - e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

단계 1.1.2.6.1.2

간단히 합니다.

$\frac{e - e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

단계 1.1.2.6.2

$e$ 에서 $e$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

단계 1.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.3.1

극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.3.1.1

$x$ 가 $1$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

단계 1.1.3.1.2

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

단계 1.1.3.1.3

$x$ 가 $1$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

단계 1.1.3.2

$x$ 에 $1$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

단계 1.1.3.3

답을 간단히 합니다.

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단계 1.1.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.3.3.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

단계 1.1.3.3.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{1 - 1}$

단계 1.1.3.3.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.3.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} - e}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{x} - e]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{x} - e]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $x e^{x} - e$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

단계 1.3.3

$\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.3.1

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 1} \frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

단계 1.3.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

단계 1.3.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

단계 1.3.3.4

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [- e]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

단계 1.3.4

$- e$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- e$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- e$ 입니다.

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

단계 1.3.5

간단히 합니다.

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단계 1.3.5.1

$x e^{x} + e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

단계 1.3.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x} x + e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

단계 1.3.5.3

$e^{x} x + e^{x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

단계 1.3.6

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

단계 1.3.7

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

단계 1.3.8

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x}}{2 x + 0}$

단계 1.3.9

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x}}{2 x}$

단계 2

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{2}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x}}{x}$

단계 2.2

$x$ 가 $1$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x e^{x} + e^{x}}{lim_{x \to 1} x}$

단계 2.3

$x$ 가 $1$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x e^{x} + lim_{x \to 1} e^{x}}{lim_{x \to 1} x}$

단계 2.4

$x$ 가 $1$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} e^{x} + lim_{x \to 1} e^{x}}{lim_{x \to 1} x}$

단계 2.5

극한을 지수로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x} + lim_{x \to 1} e^{x}}{lim_{x \to 1} x}$

단계 2.6

극한을 지수로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x} + e^{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x}$

단계 3

$x$ 가 있는 모든 곳에 $1$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 3.1

$x$ 에 $1$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 \cdot e^{lim_{x \to 1} x} + e^{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x}$

단계 3.2

$x$ 에 $1$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 \cdot e^{1} + e^{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x}$

단계 3.3

$x$ 에 $1$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 \cdot e^{1} + e^{1}}{lim_{x \to 1} x}$

단계 3.4

$x$ 에 $1$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 \cdot e^{1} + e^{1}}{1}$

단계 4

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$1 \cdot e^{1} + e^{1}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{2} (1 \cdot e^{1} + e^{1})$

단계 4.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$e^{1}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (e^{1} + e^{1})$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} (e + e^{1})$

단계 4.2.3

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} (e + e)$

단계 4.3

$e$ 를 $e$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} (2 e)$

단계 4.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$2 e$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} (2 (e))$

단계 4.4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} (2 e)$

단계 4.4.3

수식을 다시 씁니다.

$e$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$e$

소수 형태:

$2.71828182 \dots$