미적분 예제

Let $h (x) = \frac{e^{x}}{x - 1}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.1.3

미분합니다.

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단계 1.1.3.1

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.1.3.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.1.3.4

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.1.3.4.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.1.4

간단히 합니다.

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단계 1.1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x e^{x} - 1 e^{x} - e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.1.4.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1.4.2.1

$- 1 e^{x}$ 을 $- e^{x}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x e^{x} - e^{x} - e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.1.4.2.2

$- e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 을 뺍니다.

$\frac{x e^{x} - 2 e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.1.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{e^{x} x - 2 e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.1.4.4

$e^{x} x - 2 e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.1.4.4.1

$e^{x} x$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (x) - 2 e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.1.4.4.2

$- 2 e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.1.4.4.3

$e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.2

$h (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ 입니다.

$\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$e^{x} (x - 2) = 0$

단계 2.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.3.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$e^{x} = 0$

$x - 2 = 0$

단계 2.3.2

$e^{x}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.3.2.1

$e^{x}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$e^{x} = 0$

단계 2.3.2.2

$e^{x} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.2.2.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

단계 2.3.2.2.2

$\ln (0)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 2.3.2.2.3

$e^{x} = 0$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 2.3.3

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.3.3.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 2.3.3.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 2.3.4

$e^{x} (x - 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 2$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 3.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

${(x - 1)}^{2} = 0$

단계 3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.2.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 3.2.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $\frac{e^{x}}{x - 1}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$x = 2$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 4.1.1

$x$ 에 $2$ 를 대입합니다.

$\frac{e^{2}}{(2) - 1}$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

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단계 4.1.2.1

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{e^{2}}{1}$

단계 4.1.2.2

$e^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{2}$

단계 4.2

$x = 1$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 4.2.1

$x$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$\frac{e^{1}}{(1) - 1}$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

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단계 4.2.2.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{e^{1}}{0}$

단계 4.2.2.2

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

단계 4.3

모든 점을 나열합니다.

$(2, e^{2})$

단계 5