미적분 예제

$lim_{h \to 0} \frac{15 ({(h - 8)}^{2} - 64)}{h}$

단계 1

$15$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$15 lim_{h \to 0} \frac{{(h - 8)}^{2} - 64}{h}$

단계 2

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$15 \frac{lim_{h \to 0} {(h - 8)}^{2} - 64}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.1

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$15 \frac{lim_{h \to 0} {(h - 8)}^{2} - lim_{h \to 0} 64}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.1.2

극한의 멱의 법칙을 이용하여 ${(h - 8)}^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$15 \frac{{(lim_{h \to 0} h - 8)}^{2} - lim_{h \to 0} 64}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.1.3

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$15 \frac{{(lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 8)}^{2} - lim_{h \to 0} 64}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.1.4

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $8$ 의 극한을 구합니다.

$15 \frac{{(lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 8)}^{2} - lim_{h \to 0} 64}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.1.5

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $64$ 의 극한을 구합니다.

$15 \frac{{(lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 8)}^{2} - 1 \cdot 64}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.2

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$15 \frac{{(0 - 1 \cdot 8)}^{2} - 1 \cdot 64}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.1.1

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$15 \frac{{(0 - 8)}^{2} - 1 \cdot 64}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.3.1.2

$0$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$15 \frac{{(- 8)}^{2} - 1 \cdot 64}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.3.1.3

$- 8$ 를 $2$ 승 합니다.

$15 \frac{64 - 1 \cdot 64}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.3.1.4

$- 1$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$15 \frac{64 - 64}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.3.2

$64$ 에서 $64$ 을 뺍니다.

$15 \frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.3

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$15 (\frac{0}{0})$

단계 2.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$15 (\frac{0}{0})$

단계 2.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{h \to 0} \frac{{(h - 8)}^{2} - 64}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(h - 8)}^{2} - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(h - 8)}^{2} - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.2

${(h - 8)}^{2}$ 을 $(h - 8) (h - 8)$ 로 바꿔 씁니다.

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(h - 8) (h - 8) - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(h - 8) (h - 8)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h (h - 8) - 8 (h - 8) - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h \cdot h + h \cdot - 8 - 8 (h - 8) - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h \cdot h + h \cdot - 8 - 8 h - 8 \cdot - 8 - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.4

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1.1

$h$ 에 $h$ 을 곱합니다.

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} + h \cdot - 8 - 8 h - 8 \cdot - 8 - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.4.1.2

$h$ 의 왼쪽으로 $- 8$ 이동하기

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} - 8 \cdot h - 8 h - 8 \cdot - 8 - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.4.1.3

$- 8$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} - 8 h - 8 h + 64 - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.4.2

$- 8 h$ 에서 $8 h$ 을 뺍니다.

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} - 16 h + 64 - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.5

합의 법칙에 의해 $h^{2} - 16 h + 64 - 64$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 16 h] + \frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 64]$ 가 됩니다.

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 16 h] + \frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 는 $n h^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h + \frac{d}{d h} [- 16 h] + \frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.7

$\frac{d}{d h} [- 16 h]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1

$- 16$ 은 $h$ 에 대해 일정하므로 $h$ 에 대한 $- 16 h$ 의 미분은 $- 16 \frac{d}{d h} [h]$ 입니다.

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.7.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 는 $n h^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.7.3

$- 16$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16 + \frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.8

$64$ 이 $h$ 에 대해 일정하므로, $64$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $64$ 입니다.

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16 + 0 + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.9

$- 64$ 이 $h$ 에 대해 일정하므로, $- 64$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $- 64$ 입니다.

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16 + 0 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.10

항을 묶습니다.

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단계 2.3.10.1

$2 h - 16$ 를 $0$ 에 더합니다.

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.10.2

$2 h - 16$ 를 $0$ 에 더합니다.

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 는 $n h^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16}{1}$

단계 2.4

$2 h - 16$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$15 lim_{h \to 0} 2 h - 16$

단계 3

극한값을 계산합니다.

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단계 3.1

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$15 (lim_{h \to 0} 2 h - lim_{h \to 0} 16)$

단계 3.2

$2$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$15 (2 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 16)$

단계 3.3

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $16$ 의 극한을 구합니다.

$15 (2 lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 16)$

단계 4

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$15 (2 \cdot 0 - 1 \cdot 16)$

단계 5

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$15 (0 - 1 \cdot 16)$

단계 5.1.2

$- 1$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$15 (0 - 16)$

단계 5.2

$0$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$15 \cdot - 16$

단계 5.3

$15$ 에 $- 16$ 을 곱합니다.

$- 240$