미적분 예제

$\int_{0}^{2} x \sqrt{1 + 2 x^{2}} d x$

단계 1

먼저 $u = 1 + 2 x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 4 x d x$ 이므로 $\frac{1}{4} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = 1 + 2 x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$1 + 2 x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x^{2}]$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 + 2 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

단계 1.1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 2 (2 x)$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$0 + 4 x$

단계 1.1.4

$0$ 를 $4 x$ 에 더합니다.

$4 x$

단계 1.2

$u = 1 + 2 x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0^{2}$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.3.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0$

단계 1.3.1.2

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 1 + 0$

단계 1.3.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 1$

단계 1.4

$u = 1 + 2 x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 2^{2}$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.5.1.1

지수를 더하여 $2$ 에 $2^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 1.5.1.1.1

$2$ 에 $2^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1.1.1.1

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$u_{upper} = 1 + 2^{1} \cdot 2^{2}$

단계 1.5.1.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$u_{upper} = 1 + 2^{1 + 2}$

단계 1.5.1.1.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

단계 1.5.1.2

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$u_{upper} = 1 + 8$

단계 1.5.2

$1$ 를 $8$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 9$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{1}^{9} \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

단계 2

$\sqrt{u}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

단계 3

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u$

단계 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

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단계 6.1

$9$ , $1$ 일 때, $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2

간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.4

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.5

$\frac{2}{3}$ 와 $27$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.6

$2$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.7

$54$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.7.1

$54$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.7.2

공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.7.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.7.2.4

$18$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.8

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

단계 6.2.9

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (18 - \frac{2}{3})$

단계 6.2.10

공통 분모를 가지는 분수로 $18$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

단계 6.2.11

$18$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3})$

단계 6.2.12

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

단계 6.2.13

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.2.13.1

$18$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{54 - 2}{3}$

단계 6.2.13.2

$54$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{52}{3}$

단계 6.2.14

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{52}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{52}{4 \cdot 3}$

단계 6.2.15

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{52}{12}$

단계 6.2.16

$52$ 및 $12$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.16.1

$52$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (13)}{12}$

단계 6.2.16.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.16.2.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 \cdot 13}{4 \cdot 3}$

단계 6.2.16.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 \cdot 13}{4 \cdot 3}$

단계 6.2.16.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{13}{3}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{13}{3}$

소수 형태:

$4.\overline{3}$

대분수 형식:

$4 \frac{1}{3}$

단계 8