미적분 예제

$x^{5} e^{- 3 \ln (x)}$

단계 1

$f (x) = x^{5}$ , $g (x) = e^{- 3 \ln (x)}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{5} \frac{d}{d x} [e^{- 3 \ln (x)}] + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - 3 \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- 3 \ln (x)$ 로 바꿉니다.

$x^{5} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{5} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $- 3 \ln (x)$ 로 바꿉니다.

$x^{5} (e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 3

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 \ln (x)$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 입니다.

$x^{5} (e^{- 3 \ln (x)} (- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)])) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 4

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$x^{5} (e^{- 3 \ln (x)} (- 3 \frac{1}{x})) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 5

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

$- 3$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$x^{5} (e^{- 3 \ln (x)} \frac{- 3}{x}) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 5.2

항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x^{5} (e^{- 3 \ln (x)} (- \frac{3}{x})) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 5.2.2

$e^{- 3 \ln (x)}$ 와 $\frac{3}{x}$ 을 묶습니다.

$x^{5} (- \frac{e^{- 3 \ln (x)} \cdot 3}{x}) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 5.2.3

$e^{- 3 \ln (x)}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$x^{5} (- \frac{3 \cdot e^{- 3 \ln (x)}}{x}) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 5.2.4

$x^{5}$ 와 $\frac{3 e^{- 3 \ln (x)}}{x}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x^{5} (3 e^{- 3 \ln (x)})}{x} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 5.2.5

$x^{5}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.5.1

$x^{5} (3 e^{- 3 \ln (x)})$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{x (x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)}))}{x} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 5.2.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.5.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{x (x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)}))}{x^{1}} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 5.2.5.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{x (x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)}))}{x \cdot 1} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 5.2.5.2.3

공약수로 약분합니다.

$- \frac{x (x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)}))}{x \cdot 1} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 5.2.5.2.4

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)})}{1} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 5.2.5.2.5

$x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)})$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- (x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)})) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 5.2.6

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 3 (x^{4} (e^{- 3 \ln (x)})) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 5.3

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 x^{4} e^{- 3 \ln (x)} + e^{- 3 \ln (x)} (5 x^{4})$

단계 6

$- 3 x^{4} e^{- 3 \ln (x)}$ 를 $e^{- 3 \ln (x)} (5 x^{4})$ 에 더합니다.

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단계 6.1

$e^{- 3 \ln (x)}$ 를 옮깁니다.

$- 3 x^{4} e^{- 3 \ln (x)} + 5 x^{4} e^{- 3 \ln (x)}$

단계 6.2

$- 3 x^{4} e^{- 3 \ln (x)}$ 를 $5 x^{4} e^{- 3 \ln (x)}$ 에 더합니다.

$2 x^{4} e^{- 3 \ln (x)}$