미적분 예제

$y = \frac{3}{1 + x}$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 3$

단계 1

입체의 부피를 구하려면, 먼저 조각으로 나누어진 각 부분의 넓이를 정의하고 전체 영역에 대해 적분합니다. 각 부분의 넓이는 원의 넓이, $A = π r^{2}$ 이며 여기에서 반지름은 $f (x)$ 입니다.

$f (x) = \frac{3}{1 + x}$ 일 때 $V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} d x$ 입니다

단계 2

피적분함수를 간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{3}{1 + x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$V = \frac{3^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

단계 2.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$V = \frac{9}{{(1 + x)}^{2}}$

단계 3

$9$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $9$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$V = π (9 \int_{0}^{3} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x)$

단계 4

$π$ 의 왼쪽으로 $9$ 이동하기

$V = 9 π \int_{0}^{3} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

단계 5

먼저 $u = 1 + x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 5.1

$u = 1 + x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 5.1.1

$1 + x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

단계 5.1.2

합의 법칙에 의해 $1 + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.1.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.1.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 1$

단계 5.1.5

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$1$

단계 5.2

$u = 1 + x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 1 + 0$

단계 5.3

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 1$

단계 5.4

$u = 1 + x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1 + 3$

단계 5.5

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 4$

단계 5.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

단계 5.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$V = 9 π \int_{1}^{4} \frac{1}{u^{2}} d u$

단계 6

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 6.1

$u^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$V = 9 π \int_{1}^{4} {(u^{2})}^{- 1} d u$

단계 6.2

${(u^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 6.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$V = 9 π \int_{1}^{4} u^{2 \cdot - 1} d u$

단계 6.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$V = 9 π \int_{1}^{4} u^{- 2} d u$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $u^{- 2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- u^{- 1}$ 가 됩니다.

$V = 9 π - u^{- 1}]_{1}^{4}$

단계 8

대입하여 간단히 합니다.

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단계 8.1

$4$ , $1$ 일 때, $- u^{- 1}$ 값을 계산합니다.

$V = 9 π ((- 4^{- 1}) + 1^{- 1})$

단계 8.2

간단히 합니다.

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단계 8.2.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

단계 8.2.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + 1)$

단계 8.2.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

단계 8.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$V = 9 π (\frac{- 1 + 4}{4})$

단계 8.2.5

$- 1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$V = 9 π (\frac{3}{4})$

단계 8.2.6

$\frac{3}{4}$ 와 $9$ 을 묶습니다.

$V = \frac{3 \cdot 9}{4} \cdot π$

단계 8.2.7

$3$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$V = \frac{27}{4} \cdot π$

단계 8.2.8

$\frac{27}{4}$ 와 $π$ 을 묶습니다.

$V = \frac{27 π}{4}$

단계 9

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$V = \frac{27 π}{4}$

소수 형태:

$V = 21.20575041 \dots$

단계 10