미적분 예제

$lim_{x \to 2} \frac{x^{5} - 32}{x^{4} - 16}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{5} - 32}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

$x$ 가 $2$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{5} - lim_{x \to 2} 32}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

단계 1.1.2.1.2

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{5}$ 의 지수 $5$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{5} - lim_{x \to 2} 32}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

단계 1.1.2.1.3

$x$ 가 $2$ 에 가까워질 때 상수값 $32$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{5} - 1 \cdot 32}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

단계 1.1.2.2

$x$ 에 $2$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{2^{5} - 1 \cdot 32}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

단계 1.1.2.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1.1

$2$ 를 $5$ 승 합니다.

$\frac{32 - 1 \cdot 32}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

단계 1.1.2.3.1.2

$- 1$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$\frac{32 - 32}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

단계 1.1.2.3.2

$32$ 에서 $32$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

단계 1.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1.1

$x$ 가 $2$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{4} - lim_{x \to 2} 16}$

단계 1.1.3.1.2

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{4}$ 의 지수 $4$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} - lim_{x \to 2} 16}$

단계 1.1.3.1.3

$x$ 가 $2$ 에 가까워질 때 상수값 $16$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} - 1 \cdot 16}$

단계 1.1.3.2

$x$ 에 $2$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{2^{4} - 1 \cdot 16}$

단계 1.1.3.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.3.1.1

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{0}{16 - 1 \cdot 16}$

단계 1.1.3.3.1.2

$- 1$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{16 - 16}$

단계 1.1.3.3.2

$16$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.3.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{5} - 32}{x^{4} - 16} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5} - 32]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5} - 32]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $x^{5} - 32$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 32]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 32]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

단계 1.3.3

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 32]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

단계 1.3.4

$- 32$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 32$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 32$ 입니다.

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

단계 1.3.5

$5 x^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

단계 1.3.6

합의 법칙에 의해 $x^{4} - 16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

단계 1.3.7

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4}}{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16]}$

단계 1.3.8

$- 16$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 16$ 입니다.

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4}}{4 x^{3} + 0}$

단계 1.3.9

$4 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4}}{4 x^{3}}$

단계 1.4

$x^{4}$ 및 $x^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$5 x^{4}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} (5 x)}{4 x^{3}}$

단계 1.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$4 x^{3}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} (5 x)}{x^{3} \cdot 4}$

단계 1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} (5 x)}{x^{3} \cdot 4}$

단계 1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to 2} \frac{5 x}{4}$

단계 2

$\frac{5}{4}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{5}{4} lim_{x \to 2} x$

단계 3

$x$ 에 $2$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{5}{4} \cdot 2$

단계 4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5}{2 (2)} \cdot 2$

단계 4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{5}{2 \cdot 2} \cdot 2$

단계 4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5}{2}$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{5}{2}$

소수 형태:

$2.5$