미적분 예제

$\frac{d}{d x} ((x^{2} + 4) (2 x^{3} + 7 x))$

단계 1

$f (x) = x^{2} + 4$ , $g (x) = 2 x^{3} + 7 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7 x] + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{3} + 7 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ 가 됩니다.

$(x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]) + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

단계 2.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$(x^{2} + 4) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]) + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

단계 2.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} + 4) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7 x]) + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

단계 2.4

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x]) + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

단계 2.5

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7 \frac{d}{d x} [x]) + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

단계 2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7 \cdot 1) + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

단계 2.7

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7) + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

단계 2.8

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7) + (2 x^{3} + 7 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

단계 2.9

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7) + (2 x^{3} + 7 x) (2 x + \frac{d}{d x} [4])$

단계 2.10

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7) + (2 x^{3} + 7 x) (2 x + 0)$

단계 2.11

식을 간단히 합니다.

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단계 2.11.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7) + (2 x^{3} + 7 x) (2 x)$

단계 2.11.2

$2 x^{3} + 7 x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7) + 2 \cdot (2 x^{3} + 7 x) x$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7) + (2 (2 x^{3}) + 2 (7 x)) x$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7) + 2 (2 x^{3}) x + 2 (7 x) x$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(x^{2} + 4) (6 x^{2}) + (x^{2} + 4) \cdot 7 + 2 (2 x^{3}) x + 2 (7 x) x$

단계 3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} (6 x^{2}) + 4 (6 x^{2}) + (x^{2} + 4) \cdot 7 + 2 (2 x^{3}) x + 2 (7 x) x$

단계 3.5

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} (6 x^{2}) + 4 (6 x^{2}) + x^{2} \cdot 7 + 4 \cdot 7 + 2 (2 x^{3}) x + 2 (7 x) x$

단계 3.6

항을 묶습니다.

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단계 3.6.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.6.1.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$x^{2} x^{2} \cdot 6 + 4 (6 x^{2}) + x^{2} \cdot 7 + 4 \cdot 7 + 2 (2 x^{3}) x + 2 (7 x) x$

단계 3.6.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{2 + 2} \cdot 6 + 4 (6 x^{2}) + x^{2} \cdot 7 + 4 \cdot 7 + 2 (2 x^{3}) x + 2 (7 x) x$

단계 3.6.1.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$x^{4} \cdot 6 + 4 (6 x^{2}) + x^{2} \cdot 7 + 4 \cdot 7 + 2 (2 x^{3}) x + 2 (7 x) x$

단계 3.6.2

$x^{4}$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$6 \cdot x^{4} + 4 (6 x^{2}) + x^{2} \cdot 7 + 4 \cdot 7 + 2 (2 x^{3}) x + 2 (7 x) x$

단계 3.6.3

$6$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$6 x^{4} + 24 x^{2} + x^{2} \cdot 7 + 4 \cdot 7 + 2 (2 x^{3}) x + 2 (7 x) x$

단계 3.6.4

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $7$ 이동하기

$6 x^{4} + 24 x^{2} + 7 \cdot x^{2} + 4 \cdot 7 + 2 (2 x^{3}) x + 2 (7 x) x$

단계 3.6.5

$4$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$6 x^{4} + 24 x^{2} + 7 x^{2} + 28 + 2 (2 x^{3}) x + 2 (7 x) x$

단계 3.6.6

$24 x^{2}$ 를 $7 x^{2}$ 에 더합니다.

$6 x^{4} + 31 x^{2} + 28 + 2 (2 x^{3}) x + 2 (7 x) x$

단계 3.6.7

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 x^{4} + 31 x^{2} + 28 + 4 x^{3} x + 2 (7 x) x$

단계 3.6.8

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$6 x^{4} + 31 x^{2} + 28 + 4 (x^{1} x^{3}) + 2 (7 x) x$

단계 3.6.9

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$6 x^{4} + 31 x^{2} + 28 + 4 x^{1 + 3} + 2 (7 x) x$

단계 3.6.10

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$6 x^{4} + 31 x^{2} + 28 + 4 x^{4} + 2 (7 x) x$

단계 3.6.11

$7$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 x^{4} + 31 x^{2} + 28 + 4 x^{4} + 14 x \cdot x$

단계 3.6.12

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$6 x^{4} + 31 x^{2} + 28 + 4 x^{4} + 14 (x^{1} x)$

단계 3.6.13

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$6 x^{4} + 31 x^{2} + 28 + 4 x^{4} + 14 (x^{1} x^{1})$

단계 3.6.14

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$6 x^{4} + 31 x^{2} + 28 + 4 x^{4} + 14 x^{1 + 1}$

단계 3.6.15

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$6 x^{4} + 31 x^{2} + 28 + 4 x^{4} + 14 x^{2}$

단계 3.6.16

$6 x^{4}$ 를 $4 x^{4}$ 에 더합니다.

$10 x^{4} + 31 x^{2} + 28 + 14 x^{2}$

단계 3.6.17

$31 x^{2}$ 를 $14 x^{2}$ 에 더합니다.

$10 x^{4} + 45 x^{2} + 28$