미적분 예제

$x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2}$

단계 1

$x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2}$

단계 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

단계 2.1.1.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

단계 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.2.1

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 8 x^{3}$ 의 미분은 $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

단계 2.1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

단계 2.1.1.2.3

$3$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

단계 2.1.1.3

$\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.3.1

$18$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $18 x^{2}$ 의 미분은 $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x^{2})$

단계 2.1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 18 (2 x)$

단계 2.1.1.3.3

$2$ 에 $18$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 36 x$

단계 2.1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{3} - 24 x^{2} + 36 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

단계 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

단계 2.1.2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

단계 2.1.2.2.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

단계 2.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.1

$- 24$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 24 x^{2}$ 의 미분은 $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (36 x)$

단계 2.1.2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (36 x)$

단계 2.1.2.3.3

$2$ 에 $- 24$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + \frac{d}{d x} (36 x)$

단계 2.1.2.4

$\frac{d}{d x} [36 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.4.1

$36$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $36 x$ 의 미분은 $36 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 36 \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.1.2.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 36 \cdot 1$

단계 2.1.2.4.3

$36$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 36$

단계 2.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $12 x^{2} - 48 x + 36$ 입니다.

$12 x^{2} - 48 x + 36$

단계 2.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $12 x^{2} - 48 x + 36 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$12 x^{2} - 48 x + 36 = 0$

단계 2.2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$12 x^{2} - 48 x + 36$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

$12 x^{2}$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$12 (x^{2}) - 48 x + 36 = 0$

단계 2.2.2.1.2

$- 48 x$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$12 (x^{2}) + 12 (- 4 x) + 36 = 0$

단계 2.2.2.1.3

$36$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$12 x^{2} + 12 (- 4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

단계 2.2.2.1.4

$12 x^{2} + 12 (- 4 x)$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$12 (x^{2} - 4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

단계 2.2.2.1.5

$12 (x^{2} - 4 x) + 12 \cdot 3$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$12 (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

단계 2.2.2.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 4 x + 3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $3$ 이고 합은 $- 4$ 입니다.

$- 3, - 1$

단계 2.2.2.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$12 ((x - 3) (x - 1)) = 0$

단계 2.2.2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$12 (x - 3) (x - 1) = 0$

단계 2.2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

단계 2.2.4

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 2.2.4.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 2.2.5

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 2.2.5.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 2.2.6

$12 (x - 3) (x - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 3, 1$

단계 3

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 4

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, 1) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$

단계 5

$(- \infty, 1)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 48 \cdot 0 + 36$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 48 \cdot 0 + 36$

단계 5.2.1.2

$12$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0 - 48 \cdot 0 + 36$

단계 5.2.1.3

$- 48$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0 + 0 + 36$

단계 5.2.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (0) = 0 + 36$

단계 5.2.2.2

$0$ 를 $36$ 에 더합니다.

$f'' (0) = 36$

단계 5.2.3

최종 답은 $36$ 입니다.

$36$

단계 5.3

$f'' (0)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- \infty, 1)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, 1)$ 에서 위로 오목함

단계 6

$(1, 3)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f'' (2) = 12 {(2)}^{2} - 48 \cdot 2 + 36$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (2) = 12 \cdot 4 - 48 \cdot 2 + 36$

단계 6.2.1.2

$12$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (2) = 48 - 48 \cdot 2 + 36$

단계 6.2.1.3

$- 48$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (2) = 48 - 96 + 36$

단계 6.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$48$ 에서 $96$ 을 뺍니다.

$f'' (2) = - 48 + 36$

단계 6.2.2.2

$- 48$ 를 $36$ 에 더합니다.

$f'' (2) = - 12$

단계 6.2.3

최종 답은 $- 12$ 입니다.

$- 12$

단계 6.3

$f'' (2)$ 이 음수이므로 그래프는 $(1, 3)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(1, 3)$ 에서 아래로 오목함

단계 7

$(3, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $6$ 을 대입합니다.

$f'' (6) = 12 {(6)}^{2} - 48 \cdot 6 + 36$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (6) = 12 \cdot 36 - 48 \cdot 6 + 36$

단계 7.2.1.2

$12$ 에 $36$ 을 곱합니다.

$f'' (6) = 432 - 48 \cdot 6 + 36$

단계 7.2.1.3

$- 48$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$f'' (6) = 432 - 288 + 36$

단계 7.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$432$ 에서 $288$ 을 뺍니다.

$f'' (6) = 144 + 36$

단계 7.2.2.2

$144$ 를 $36$ 에 더합니다.

$f'' (6) = 180$

단계 7.2.3

최종 답은 $180$ 입니다.

$180$

단계 7.3

$f'' (6)$ 이 양수이므로 그래프는 $(3, \infty)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(3, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 8

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, 1)$ 에서 위로 오목함

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(1, 3)$ 에서 아래로 오목함

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(3, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 9