미적분 예제

$y = \sin (4 x) - 8 x^{2} + 9 x + π$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\sin (4 x) - 8 x^{2} + 9 x + π$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sin (4 x)] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (4 x)] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

단계 2.1.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

단계 2.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (4 x) (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

단계 2.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos (4 x) \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

단계 2.5

$\cos (4 x)$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$4 \cos (4 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 8 x^{2}$ 의 미분은 $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$4 \cos (4 x) - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

단계 3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \cos (4 x) - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

단계 3.3

$2$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$4 \cos (4 x) - 16 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

단계 4

$\frac{d}{d x} [9 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 \cos (4 x) - 16 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π]$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \cos (4 x) - 16 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π]$

단계 4.3

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 \cos (4 x) - 16 x + 9 + \frac{d}{d x} [π]$

단계 5

$π$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $π$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $π$ 입니다.

$4 \cos (4 x) - 16 x + 9 + 0$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$4 \cos (4 x) - 16 x + 9$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 \cos (4 x) - 16 x + 9$

단계 6.2

항을 다시 정렬합니다.

$- 16 x + 9 + 4 \cos (4 x)$