미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = x e^{x - y}$

단계 1

$v = e^{x - y}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $e^{x - y}$ 를 $v$ 로 바꿉니다.

$\frac{d y}{d x} = x v$

단계 2

$e^{x - y}$ 를 미분하여 $\frac{d v}{d x}$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x - y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

단계 2.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $x - y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $x - y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ 가 됩니다.

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

단계 2.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [y]$ 입니다.

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.5

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - y')$

단계 3

$e^{x - y}$ 에 $v$ 를 대입합니다.

$\frac{d v}{d x} = v (1 - y')$

단계 4

도함수를 다시 미분 방정식에 대입합니다.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$

단계 5

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$ 의 각 항에 $- v$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$ 의 각 항에 $- v$ 을 곱합니다.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} (- v) + 1 (- v) = x v (- v)$

단계 5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$v$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (- v) + 1 (- v) = x v (- v)$

단계 5.2.1.1.2

$- v$ 에서 $v$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (v \cdot - 1) + 1 (- v) = x v (- v)$

단계 5.2.1.1.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (v \cdot - 1) + 1 (- v) = x v (- v)$

단계 5.2.1.1.4

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + 1 (- v) = x v (- v)$

단계 5.2.1.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{d v}{d x} + 1 (- v) = x v (- v)$

단계 5.2.1.3

$\frac{d v}{d x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} + 1 (- v) = x v (- v)$

단계 5.2.1.4

$- v$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} - v = x v (- v)$

단계 5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d x} - v = - x v \cdot v$

단계 5.3.2

지수를 더하여 $v$ 에 $v$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$v$ 를 옮깁니다.

$\frac{d v}{d x} - v = - x (v \cdot v)$

단계 5.3.2.2

$v$ 에 $v$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{2}$

단계 6

미분 방정식을 풀려면 $v^{2}$ 의 지수가 $n$ 일 때 $v = y^{1 - n}$ 로 둡니다.

$v = v^{- 1}$

단계 7

$v$ 에 대해 식을 풉니다.

$y = v^{- 1}$

단계 8

$x$ 에 대해 $y$ 의 도함수를 구합니다.

$y' = v^{- 1}$

단계 9

$x$ 에 대해 $v^{- 1}$ 의 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$v^{- 1}$ 도함수를 구합니다.

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

단계 9.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

단계 9.3

$f (x) = 1$ , $g (x) = v$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

단계 9.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

단계 9.4.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

단계 9.4.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.3.1

$v$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

단계 9.4.3.2

$0$ 에서 $\frac{d}{d x} [v]$ 을 뺍니다.

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

단계 9.4.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

단계 9.5

$\frac{d}{d x} [v]$ 을 $v'$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

단계 10

원래 방정식 $\frac{d v}{d x} - v = - x v^{2}$ 에서 $\frac{d v}{d x}$ 은 $- \frac{v'}{v^{2}}$ 으로, $v$ 은 $v^{- 1}$ 로 치환합니다.

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$

단계 11

치환 미분 방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$ 의 각 항에 $- v^{2}$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$ 의 각 항에 $- v^{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 11.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.2.1.1

$v^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.2.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 11.1.2.1.1.2

$- v^{2}$ 에서 $v^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 11.1.2.1.1.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 11.1.2.1.1.4

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 11.1.2.1.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 11.1.2.1.3

$\frac{d v}{d x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 11.1.2.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{- 1} v^{2} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 11.1.2.1.5

지수를 더하여 $v^{- 1}$ 에 $v^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.2.1.5.1

$v^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 (v^{2} v^{- 1}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 11.1.2.1.5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{2 - 1} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 11.1.2.1.5.3

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{1} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 11.1.2.1.6

$- 1 \cdot - 1 v^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 11.1.2.1.7

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} + 1 v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 11.1.2.1.8

$v$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} + v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 11.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.3.1

${(v^{- 1})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{- 1 \cdot 2} (- v^{2})$

단계 11.1.3.1.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{- 2} (- v^{2})$

단계 11.1.3.2

지수를 더하여 $v^{- 2}$ 에 $v^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.3.2.1

$v^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{d v}{d x} + v = - x (v^{2} v^{- 2}) \cdot - 1$

단계 11.1.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{2 - 2} \cdot - 1$

단계 11.1.3.2.3

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{0} \cdot - 1$

단계 11.1.3.3

$- x v^{0} \cdot - 1$ 을 간단히 합니다.

$\frac{d v}{d x} + v = - x \cdot - 1$

단계 11.1.3.4

$- x \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.3.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} + v = 1 x$

단계 11.1.3.4.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} + v = x$

단계 11.2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = 1$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int d x}$

단계 11.2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{x + C}$

단계 11.2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{x}$

단계 11.3

각 항에 적분 인수 $e^{x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1

각 항에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$

단계 11.3.2

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = x e^{x}$

단계 11.4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = x e^{x}$

단계 11.5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int x e^{x} d x$

단계 11.6

좌변을 적분합니다.

$e^{x} v = \int x e^{x} d x$

단계 11.7

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.7.1

$u = x$ 이고 $d v = e^{x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{x} v = x e^{x} - \int e^{x} d x$

단계 11.7.2

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$e^{x} v = x e^{x} - (e^{x} + C)$

단계 11.7.3

간단히 합니다.

$e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$

단계 11.8

$e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$ 의 각 항을 $e^{x}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.8.1

$e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$ 의 각 항을 $e^{x}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 11.8.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.8.2.1

$e^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 11.8.2.1.2

$v$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 11.8.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.8.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.8.3.1.1

$e^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.8.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 11.8.3.1.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 11.8.3.1.2

$e^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.8.3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 11.8.3.1.2.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$v = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

단계 12

$v$ 에 $v^{- 1}$ 를 대입합니다.

$v^{- 1} = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

단계 13

$v$ 를 모두 $e^{x - y}$ 로 바꿉니다.

${(e^{x - y})}^{- 1} = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

단계 14

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{- x + y}) = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

단계 14.2

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.1

$- x + y$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{- x + y})$ 을 전개합니다.

$(- x + y) \ln (e) = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

단계 14.2.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$(- x + y) \cdot 1 = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

단계 14.2.3

$- x + y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- x + y = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

단계 14.3

방정식의 양변에 $x$ 를 더합니다.

$y = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}}) + x$