미적분 예제

$\frac{d^{2} s}{d t^{2}} = \sin (3 t) + \cos (3 t)$

단계 1

양변을 $t$ 에 대하여 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수가 $t$ 에 대한 2차 도함수의 적분과 같습니다.

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (3 t) + \cos (3 t) d t$

단계 1.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (3 t) d t + \int \cos (3 t) d t$

단계 1.3

먼저 $u_{1} = 3 t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 3 d t$ 이므로 $\frac{1}{3} d u_{1} = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$u_{1} = 3 t$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

$3 t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [3 t]$

단계 1.3.1.2

$3$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $3 t$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d t} [t]$

단계 1.3.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1$

단계 1.3.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3$

단계 1.3.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

단계 1.4

$\sin (u_{1})$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{d s}{d t} = \int \frac{\sin (u_{1})}{3} d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

단계 1.5

$\frac{1}{3}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

단계 1.6

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $- \cos (u_{1})$ 입니다.

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \cos (3 t) d t$

단계 1.7

먼저 $u_{2} = 3 t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 3 d t$ 이므로 $\frac{1}{3} d u_{2} = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

$u_{2} = 3 t$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.1

$3 t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [3 t]$

단계 1.7.1.2

$3$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $3 t$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d t} [t]$

단계 1.7.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1$

단계 1.7.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3$

단계 1.7.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

단계 1.8

$\cos (u_{2})$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

단계 1.9

$\frac{1}{3}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

단계 1.10

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\sin (u_{2})$ 입니다.

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \frac{1}{3} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

단계 1.11

간단히 합니다.

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (u_{1})}{3} + \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{3}$

단계 1.12

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.12.1

$u_{1}$ 를 모두 $3 t$ 로 바꿉니다.

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{3}$

단계 1.12.2

$u_{2}$ 를 모두 $3 t$ 로 바꿉니다.

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}$

단계 1.13

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d s}{d t} = - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}$

단계 2

식을 다시 씁니다.

$d s = (- \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}) d t$

단계 3

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d s = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3} d t$

단계 3.2

상수 규칙을 적용합니다.

$s + C_{4} = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3} d t$

단계 3.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$s + C_{4} = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) d t + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

단계 3.3.2

$- \frac{1}{3}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $- \frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \cos (3 t) d t + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

단계 3.3.3

먼저 $u_{3} = 3 t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{3} = 3 d t$ 이므로 $\frac{1}{3} d u_{3} = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{3}$ 와 $d$ $u_{3}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$u_{3} = 3 t$ 로 둡니다. $\frac{d u_{3}}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.1

$3 t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [3 t]$

단계 3.3.3.1.2

$3$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $3 t$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d t} [t]$

단계 3.3.3.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1$

단계 3.3.3.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3$

단계 3.3.3.2

$u_{3}$ 와 $d u_{3}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \cos (u_{3}) \frac{1}{3} d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

단계 3.3.4

$\cos (u_{3})$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \frac{\cos (u_{3})}{3} d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

단계 3.3.5

$\frac{1}{3}$ 은 $u_{3}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \cos (u_{3}) d u_{3}) + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

단계 3.3.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$s + C_{4} = - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \cos (u_{3}) d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

단계 3.3.6.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} \int \cos (u_{3}) d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

단계 3.3.7

$\cos (u_{3})$ 를 $u_{3}$ 에 대해 적분하면 $\sin (u_{3})$ 입니다.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

단계 3.3.8

$\frac{1}{3}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

단계 3.3.9

먼저 $u_{4} = 3 t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{4} = 3 d t$ 이므로 $\frac{1}{3} d u_{4} = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{4}$ 와 $d$ $u_{4}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.9.1

$u_{4} = 3 t$ 로 둡니다. $\frac{d u_{4}}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.9.1.1

$3 t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [3 t]$

단계 3.3.9.1.2

$3$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $3 t$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d t} [t]$

단계 3.3.9.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1$

단계 3.3.9.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3$

단계 3.3.9.2

$u_{4}$ 와 $d u_{4}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \sin (u_{4}) \frac{1}{3} d u_{4} + \int C_{3} d t$

단계 3.3.10

$\sin (u_{4})$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u_{4})}{3} d u_{4} + \int C_{3} d t$

단계 3.3.11

$\frac{1}{3}$ 은 $u_{4}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u_{4}) d u_{4}) + \int C_{3} d t$

단계 3.3.12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.12.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u_{4}) d u_{4} + \int C_{3} d t$

단계 3.3.12.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} \int \sin (u_{4}) d u_{4} + \int C_{3} d t$

단계 3.3.13

$\sin (u_{4})$ 를 $u_{4}$ 에 대해 적분하면 $- \cos (u_{4})$ 입니다.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} (- \cos (u_{4}) + C_{6}) + \int C_{3} d t$

단계 3.3.14

상수 규칙을 적용합니다.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} (- \cos (u_{4}) + C_{6}) + C_{3} t + C_{7}$

단계 3.3.15

간단히 합니다.

$s + C_{4} = - \frac{\sin (u_{3})}{9} - \frac{\cos (u_{4})}{9} + C_{3} t + C_{8}$

단계 3.3.16

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.16.1

$u_{3}$ 를 모두 $3 t$ 로 바꿉니다.

$s + C_{4} = - \frac{\sin (3 t)}{9} - \frac{\cos (u_{4})}{9} + C_{3} t + C_{8}$

단계 3.3.16.2

$u_{4}$ 를 모두 $3 t$ 로 바꿉니다.

$s + C_{4} = - \frac{\sin (3 t)}{9} - \frac{\cos (3 t)}{9} + C_{3} t + C_{8}$

단계 3.3.17

항을 다시 정렬합니다.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} \sin (3 t) - \frac{1}{9} \cos (3 t) + C_{3} t + C_{8}$

단계 3.4

우변에 적분 상수를 $D$ 로 묶습니다.

$s = - \frac{1}{9} \sin (3 t) - \frac{1}{9} \cos (3 t) + C t + D$