미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y - 2 y + 5}{2 x + 5}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $\frac{1}{3 y - 2 y + 5}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3 y - 2 y + 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y - 2 y + 5} \cdot \frac{3 y - 2 y + 5}{2 x + 5}$

단계 1.2

$3 y - 2 y + 5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{3 y - 2 y + 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y - 2 y + 5} \cdot \frac{3 y - 2 y + 5}{2 x + 5}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3 y - 2 y + 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x + 5}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3 y - 2 y + 5} d y = \frac{1}{2 x + 5} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{3 y - 2 y + 5} d y = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$3 y$ 에서 $2 y$ 을 뺍니다.

$\int \frac{1}{y + 5} d y = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

단계 2.2.2

먼저 $u_{1} = y + 5$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$u_{1} = y + 5$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

$y + 5$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y + 5]$

단계 2.2.2.1.2

합의 법칙에 의해 $y + 5$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$

단계 2.2.2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d y} [5]$

단계 2.2.2.1.4

$5$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$1 + 0$

단계 2.2.2.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.2.2.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

단계 2.2.3

$\frac{1}{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{1} |)$ 입니다.

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

단계 2.2.4

$u_{1}$ 를 모두 $y + 5$ 로 바꿉니다.

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

먼저 $u_{2} = 2 x + 5$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$u_{2} = 2 x + 5$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.1

$2 x + 5$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x + 5]$

단계 2.3.1.1.2

합의 법칙에 의해 $2 x + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 2.3.1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 2.3.1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

단계 2.3.1.1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d x} [5]$

단계 2.3.1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.4.1

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$2 + 0$

단계 2.3.1.1.4.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2$

단계 2.3.1.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 2.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$\frac{1}{u_{2}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

단계 2.3.2.2

$u_{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

단계 2.3.3

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 2.3.4

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

단계 2.3.6

$u_{2}$ 를 모두 $2 x + 5$ 로 바꿉니다.

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 5 |) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y + 5 |) = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 5 |) + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\ln (| 2 x + 5 |)$ 을 묶습니다.

$\ln (| y + 5 |) = \frac{\ln (| 2 x + 5 |)}{2} + C$

단계 3.2

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| y + 5 |) - \frac{\ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

단계 3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\ln (| y + 5 |)$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\ln (| y + 5 |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

단계 3.4

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$\ln (| y + 5 |)$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (| y + 5 |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

단계 3.4.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\ln (| y + 5 |) \cdot 2 - \ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

단계 3.5

$\ln (| y + 5 |)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \ln (| y + 5 |) - \ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

단계 3.6

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$\frac{2 \ln (| y + 5 |) - \ln (| 2 x + 5 |)}{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.1.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (| y + 5 |)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{\ln ({| y + 5 |}^{2}) - \ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

단계 3.6.1.1.2

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| y + 5 |}^{2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$\frac{\ln ({(y + 5)}^{2}) - \ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

단계 3.6.1.1.3

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\frac{\ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})}{2} = C$

단계 3.6.1.2

$\frac{\ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})}{2}$ 을 $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |}) = C$

단계 3.6.1.3

$\frac{1}{2}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})$ 을 간단히 합니다.

$\ln ({(\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

단계 3.6.1.4

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\ln (\frac{{({(y + 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

단계 3.6.1.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.5.1

${({(y + 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.5.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\ln (\frac{{(y + 5)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

단계 3.6.1.5.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.5.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\ln (\frac{{(y + 5)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

단계 3.6.1.5.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\ln (\frac{{(y + 5)}^{1}}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

단계 3.6.1.5.2

간단히 합니다.

$\ln (\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

단계 3.7

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

단계 3.8

로그의 정의를 이용하여 $\ln (\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{C} = \frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.9

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.1

$\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

단계 3.9.2

양변에 ${| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$

단계 3.9.3

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.3.1

${| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$

단계 3.9.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y + 5 = e^{C} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$

단계 3.9.4

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$y = e^{C} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}} - 5$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = C {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}} - 5$