미적분 예제

$(y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}) d x + (e^{x} + 2 x y) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}]$

단계 1.2

합의 법칙에 의해 $y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d y} [y e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$e^{x}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $y e^{x}$ 의 미분은 $e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 1.3.3

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 1.4

미분합니다.

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단계 1.4.1

$2 e^{x}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $2 e^{x}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $2 e^{x}$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 1.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + 0 + 2 y$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + 2 y$

단계 1.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + e^{x}$

단계 2

$N (x, y) = e^{x} + 2 x y$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x} + 2 x y]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $e^{x} + 2 x y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

단계 2.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + \frac{d}{d x} [2 x y]$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [2 x y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.4.1

$2 y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x y$ 의 미분은 $2 y \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + 2 y \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + 2 y \cdot 1$

단계 2.4.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + 2 y$

단계 2.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + e^{x}$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $2 y + e^{x}$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $2 y + e^{x}$ 을 대입합니다.

$2 y + e^{x} = 2 y + e^{x}$

단계 3.2

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$2 y + e^{x} = 2 y + e^{x}$ 은 항등식입니다.

단계 4

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int e^{x} + 2 x y d y$

단계 5

$N (x, y) = e^{x} + 2 x y$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 5.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f (x, y) = \int e^{x} d y + \int 2 x y d y$

단계 5.2

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = e^{x} y + C + \int 2 x y d y$

단계 5.3

$2 x$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2 x$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = e^{x} y + C + 2 x \int y d y$

단계 5.4

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = e^{x} y + C + 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

단계 5.5

간단히 합니다.

$f (x, y) = e^{x} y + 2 \cdot \frac{1}{2} x y^{2} + C$

단계 5.6

간단히 합니다.

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단계 5.6.1

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = e^{x} y + \frac{2}{2} x y^{2} + C$

단계 5.6.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.6.2.1

공약수로 약분합니다.

$f (x, y) = e^{x} y + \frac{2}{2} x y^{2} + C$

단계 5.6.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f (x, y) = e^{x} y + 1 x y^{2} + C$

단계 5.6.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + C$

단계 6

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + g (x)$

단계 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

단계 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

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단계 8.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y + x y^{2} + g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

단계 8.2

합의 법칙에 의해 $e^{x} y + x y^{2} + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x} y] + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

단계 8.3

$\frac{d}{d x} [e^{x} y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 8.3.1

$y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $e^{x} y$ 의 미분은 $y \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 입니다.

$y \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

단계 8.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y e^{x} + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

단계 8.4

$\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 8.4.1

$y^{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $x y^{2}$ 의 미분은 $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$y e^{x} + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

단계 8.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y e^{x} + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

단계 8.4.3

$y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y e^{x} + y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

단계 8.5

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$y e^{x} + y^{2} + \frac{d g}{d x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

단계 8.6

간단히 합니다.

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단계 8.6.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} + e^{x} y = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

단계 8.6.2

$\frac{d g}{d x} + y^{2} + e^{x} y$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} + y e^{x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

단계 9

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1

$\frac{d g}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 9.1.1

방정식의 양변에서 $y^{2}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2} - y^{2}$

단계 9.1.2

방정식의 양변에서 $y e^{x}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2} - y^{2} - y e^{x}$

단계 9.1.3

$y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2} - y^{2} - y e^{x}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 9.1.3.1

$y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + 2 e^{x} + 0 - y e^{x}$

단계 9.1.3.2

$y e^{x} + 2 e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + 2 e^{x} - y e^{x}$

단계 9.1.3.3

$y e^{x}$ 에서 $y e^{x}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = 2 e^{x} + 0$

단계 9.1.3.4

$2 e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = 2 e^{x}$

단계 10

$2 e^{x}$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

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단계 10.1

$\frac{d g}{d x} = 2 e^{x}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 e^{x} d x$

단계 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int 2 e^{x} d x$

단계 10.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (x) = 2 \int e^{x} d x$

단계 10.4

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$g (x) = 2 (e^{x} + C)$

단계 10.5

간단히 합니다.

$g (x) = 2 e^{x} + C$

단계 11

$f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + 2 e^{x} + C$

단계 12

$f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + 2 e^{x} + C$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = y e^{x} + x y^{2} + 2 e^{x} + C$