미적분 예제

$\frac{d y}{d t} = \frac{2 t}{y (1 + t^{2})}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d t} = \frac{2 t}{1 + t^{2}} \cdot \frac{1}{y}$

단계 1.2

양변에 $y$ 을 곱합니다.

$y \frac{d y}{d t} = y (\frac{2 t}{1 + t^{2}} \cdot \frac{1}{y})$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$\frac{2 t}{1 + t^{2}}$ 에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{2 t}{(1 + t^{2}) y}$

단계 1.3.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

$(1 + t^{2}) y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{2 t}{y (1 + t^{2})}$

단계 1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{2 t}{y (1 + t^{2})}$

단계 1.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y \frac{d y}{d t} = \frac{2 t}{1 + t^{2}}$

단계 1.4

식을 다시 씁니다.

$y d y = \frac{2 t}{1 + t^{2}} d t$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y d y = \int \frac{2 t}{1 + t^{2}} d t$

단계 2.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{2 t}{1 + t^{2}} d t$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$2$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

단계 2.3.2

먼저 $u = 1 + t^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 t d t$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = t d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$u = 1 + t^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

$1 + t^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [1 + t^{2}]$

단계 2.3.2.1.2

합의 법칙에 의해 $1 + t^{2}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

단계 2.3.2.1.3

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

단계 2.3.2.1.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 2 t$

단계 2.3.2.1.5

$0$ 를 $2 t$ 에 더합니다.

$2 t$

단계 2.3.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2.3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

단계 2.3.3.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

단계 2.3.4

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

단계 2.3.5.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

단계 2.3.5.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

단계 2.3.5.3

$\int \frac{1}{u} d u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

단계 2.3.6

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

단계 2.3.7

$u$ 를 모두 $1 + t^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| 1 + t^{2} |) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} = \ln (| 1 + t^{2} |) + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\ln (| 1 + t^{2} |) + C)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + t^{2} |) + C)$

단계 3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + t^{2} |) + C)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = 2 (\ln (| 1 + t^{2} |) + C)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} = 2 \ln (| 1 + t^{2} |) + 2 C$

단계 3.3

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (| 1 + t^{2} |)$ 을 간단히 합니다.

$y^{2} = \ln ({| 1 + t^{2} |}^{2}) + 2 C$

단계 3.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{\ln ({| 1 + t^{2} |}^{2}) + 2 C}$

단계 3.5

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| 1 + t^{2} |}^{2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$y = \pm \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

단계 3.6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

단계 3.6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

단계 3.6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + C}$