미적분 예제

$\frac{d y}{d t} = 2 y^{2} t$ , $y (3) = 1$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2}} (2 y^{2} t)$

단계 1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = 2 \frac{1}{y^{2}} (y^{2} t)$

단계 1.2.2

$2$ 와 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{2}{y^{2}} (y^{2} t)$

단계 1.2.3

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$y^{2} t$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{2}{y^{2}} (y^{2} (t))$

단계 1.2.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{2}{y^{2}} (y^{2} t)$

단계 1.2.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = 2 t$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2}} d y = 2 t d t$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 2 t d t$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$y^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 2 t d t$

단계 2.2.1.2

${(y^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 2 t d t$

단계 2.2.1.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int y^{- 2} d y = \int 2 t d t$

단계 2.2.2

멱의 법칙에 의해 $y^{- 2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $- y^{- 1}$ 가 됩니다.

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 2 t d t$

단계 2.2.3

$- y^{- 1} + C_{1}$ 을 $- \frac{1}{y} + C_{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 2 t d t$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$2$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int t d t$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $t$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} t^{2}$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2})$

단계 2.3.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2})$ 을 $2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{2}$

단계 2.3.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{2} t^{2} + C_{2}$

단계 2.3.3.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{2} t^{2} + C_{2}$

단계 2.3.3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 t^{2} + C_{2}$

단계 2.3.3.2.3

$t^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = t^{2} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$- \frac{1}{y} = t^{2} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$y, 1, 1$

단계 3.1.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$y$

단계 3.2

$- \frac{1}{y} = t^{2} + K$ 의 각 항에 $y$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$- \frac{1}{y} = t^{2} + K$ 의 각 항에 $y$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{y} y = t^{2} y + K y$

단계 3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$- \frac{1}{y}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 1}{y} y = t^{2} y + K y$

단계 3.2.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1}{y} y = t^{2} y + K y$

단계 3.2.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$- 1 = t^{2} y + K y$

단계 3.3

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$t^{2} y + K y = - 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$t^{2} y + K y = - 1$

단계 3.3.2

$t^{2} y + K y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$t^{2} y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y t^{2} + K y = - 1$

단계 3.3.2.2

$K y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y t^{2} + y K = - 1$

단계 3.3.2.3

$y t^{2} + y K$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (t^{2} + K) = - 1$

단계 3.3.3

$y (t^{2} + K) = - 1$ 의 각 항을 $t^{2} + K$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$y (t^{2} + K) = - 1$ 의 각 항을 $t^{2} + K$ 로 나눕니다.

$\frac{y (t^{2} + K)}{t^{2} + K} = \frac{- 1}{t^{2} + K}$

단계 3.3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.1

$t^{2} + K$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y (t^{2} + K)}{t^{2} + K} = \frac{- 1}{t^{2} + K}$

단계 3.3.3.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{- 1}{t^{2} + K}$

단계 3.3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{1}{t^{2} + K}$

단계 4

초기 조건을 활용하여 $y = - \frac{1}{t^{2} + K}$ 에서 $t$ 에 $3$ 을, $y$ 에 $1$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$1 = - \frac{1}{3^{2} + K}$

단계 5

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$- \frac{1}{3^{2} + K} = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{3^{2} + K} = 1$

단계 5.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{1}{9 + K} = 1$

단계 5.3

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$9 + K, 1$

단계 5.3.2

괄호를 제거합니다.

$9 + K, 1$

단계 5.3.3

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$9 + K$

단계 5.4

$- \frac{1}{9 + K} = 1$ 의 각 항에 $9 + K$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$- \frac{1}{9 + K} = 1$ 의 각 항에 $9 + K$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{9 + K} (9 + K) = 1 (9 + K)$

단계 5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

$9 + K$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.1

$- \frac{1}{9 + K}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 1}{9 + K} (9 + K) = 1 (9 + K)$

단계 5.4.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1}{9 + K} (9 + K) = 1 (9 + K)$

단계 5.4.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$- 1 = 1 (9 + K)$

단계 5.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1

$9 + K$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1 = 9 + K$

단계 5.5

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$9 + K = - 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$9 + K = - 1$

단계 5.5.2

$K$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.1

방정식의 양변에서 $9$ 를 뺍니다.

$K = - 1 - 9$

단계 5.5.2.2

$- 1$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$K = - 10$

단계 6

$y = - \frac{1}{t^{2} + K}$ 의 $K$ 에 $- 10$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$K$ 에 $- 10$ 를 대입합니다.

$y = - \frac{1}{t^{2} - 10}$