미적분 예제

$\frac{x^{2}}{y^{2} - 2} \cdot \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{d y}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$\frac{x^{2}}{y^{2} - 2}$ 와 $\frac{d y}{d x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2} - 2} = \frac{1}{2 y}$

단계 1.1.2

첫 번째 분수의 분자에 두 번째 분수의 분모를 곱합니다. 이 값을 첫 번째 분수의 분모와 두 번째 분수의 분모의 곱과 같게 합니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} (2 y) = (y^{2} - 2) \cdot 1$

단계 1.1.3

$\frac{d y}{d x}$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1.1

괄호를 제거합니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 2 y = (y^{2} - 2) \cdot 1$

단계 1.1.3.1.2

$y^{2} - 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 2 y = y^{2} - 2$

단계 1.1.3.2

$x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y) = y^{2} - 2$ 의 각 항을 $x^{2} \cdot 2 y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.1

$x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y) = y^{2} - 2$ 의 각 항을 $x^{2} \cdot 2 y$ 로 나눕니다.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{x^{2} \cdot 2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

단계 1.1.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.2.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{x^{2} \cdot 2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

단계 1.1.3.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

단계 1.1.3.2.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

단계 1.1.3.2.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

단계 1.1.3.2.2.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

단계 1.1.3.2.2.3.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

단계 1.1.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.3.1.1

$y^{2}$ 및 $y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.3.1.1.1

$y^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

단계 1.1.3.2.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.3.1.1.2.1

$x^{2} \cdot 2 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (x^{2} \cdot 2)} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

단계 1.1.3.2.3.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (x^{2} \cdot 2)} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

단계 1.1.3.2.3.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2} \cdot 2} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

단계 1.1.3.2.3.1.2

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 \cdot x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

단계 1.1.3.2.3.1.3

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.3.1.3.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{x^{2} \cdot 2 y}$

단계 1.1.3.2.3.1.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.3.1.3.2.1

$x^{2} \cdot 2 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{2} y)}$

단계 1.1.3.2.3.1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{2} y)}$

단계 1.1.3.2.3.1.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2} y}$

단계 1.1.3.2.3.1.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} - \frac{1}{x^{2} y}$

단계 1.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{y}{2 x^{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{y}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{x^{2} y}$

단계 1.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{x^{2} y}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{x^{2} y} \cdot \frac{2}{2}$

단계 1.2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $2 y x^{2}$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$\frac{y}{2 x^{2}}$ 에 $\frac{y}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x^{2} y} - \frac{1}{x^{2} y} \cdot \frac{2}{2}$

단계 1.2.3.2

$\frac{1}{x^{2} y}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x^{2} y} - \frac{2}{x^{2} y \cdot 2}$

단계 1.2.3.3

$x^{2} y \cdot 2$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x^{2} y} - \frac{2}{2 x^{2} y}$

단계 1.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y - 2}{2 x^{2} y}$

단계 1.2.5

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 2}{2 x^{2} y}$

단계 1.3

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 2}{2 y} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

단계 1.4

양변에 $\frac{2 y}{y^{2} - 2}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} (\frac{y^{2} - 2}{2 y} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

단계 1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$\frac{y^{2} - 2}{2 y}$ 에 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{2 y x^{2}}$

단계 1.5.2

$2 y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1

$2 y x^{2}$ 에서 $2 y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{2 y (x^{2})}$

단계 1.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{2 y x^{2}}$

단계 1.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{x^{2}}$

단계 1.5.3

$y^{2} - 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{x^{2}}$

단계 1.5.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

단계 1.6

식을 다시 씁니다.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{2 y}{y^{2} - 2} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int \frac{y}{y^{2} - 2} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2.2.2

먼저 $u = y^{2} - 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 y d y$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = y d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$u = y^{2} - 2$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

$y^{2} - 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y^{2} - 2]$

단계 2.2.2.1.2

합의 법칙에 의해 $y^{2} - 2$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2]$

단계 2.2.2.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 y + \frac{d}{d y} [- 2]$

단계 2.2.2.1.4

$- 2$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$2 y + 0$

단계 2.2.2.1.5

$2 y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 y$

단계 2.2.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2.2.3.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2.2.4

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2.2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2.2.5.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2.2.5.2.2

수식을 다시 씁니다.

$1 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2.2.5.3

$\int \frac{1}{u} d u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2.2.6

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2.2.7

$u$ 를 모두 $y^{2} - 2$ 로 바꿉니다.

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

단계 2.3.1.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

단계 2.3.1.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

단계 2.3.3

$- x^{- 1} + C_{2}$ 을 $- \frac{1}{x} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y^{2} - 2 |) = - \frac{1}{x} + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| y^{2} - 2 |)} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

단계 3.2

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| y^{2} - 2 |) = - \frac{1}{x} + C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- \frac{1}{x} + C} = | y^{2} - 2 |$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$| y^{2} - 2 | = e^{- \frac{1}{x} + C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| y^{2} - 2 | = e^{- \frac{1}{x} + C}$

단계 3.3.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y^{2} - 2 = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$

단계 3.3.3

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$y^{2} = \pm e^{- \frac{1}{x} + C} + 2$

단계 3.3.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- \frac{1}{x} + C} + 2}$

단계 4

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$e^{- \frac{1}{x} + C}$ 을 $e^{- \frac{1}{x}} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- \frac{1}{x}} e^{C} + 2}$

단계 4.2

$e^{- \frac{1}{x}}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} e^{- \frac{1}{x}} + 2}$

단계 4.3

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = \pm \sqrt{C e^{- \frac{1}{x}} + 2}$