미적분 예제

$(y \ln (y) - 2 x y e^{y}) d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (y) - 2 x y e^{y}]$

단계 1.2

합의 법칙에 의해 $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y \ln (y)] + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (y)] + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d y} [y \ln (y)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$f (y) = y$ , $g (y) = \ln (y)$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

단계 1.3.2

$\ln (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{y}$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{1}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

단계 1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{1}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

단계 1.3.4

$y$ 와 $\frac{1}{y}$ 을 묶습니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{y}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

단계 1.3.5

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{y}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

단계 1.3.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

단계 1.3.6

$\ln (y)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

단계 1.4

$\frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.4.1

$- 2 x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- 2 x y e^{y}$ 의 미분은 $- 2 x \frac{d}{d y} [y e^{y}]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x \frac{d}{d y} [y e^{y}]$

단계 1.4.2

$f (y) = y$ , $g (y) = e^{y}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y \frac{d}{d y} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d y} [y])$

단계 1.4.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ 은 $a^{y} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y e^{y} + e^{y} \frac{d}{d y} [y])$

단계 1.4.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y e^{y} + e^{y} \cdot 1)$

단계 1.4.5

$e^{y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y e^{y} + e^{y})$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y e^{y}) - 2 x e^{y}$

단계 1.5.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x y e^{y} - 2 x e^{y}$

단계 1.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y)$

단계 2

$N (x, y) = x (1 - x y e^{y})$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (1 - x y e^{y})]$

단계 2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = 1 - x y e^{y}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [1 - x y e^{y}] + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3

미분합니다.

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단계 2.3.1

합의 법칙에 의해 $1 - x y e^{y}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y e^{y}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y e^{y}]) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (0 + \frac{d}{d x} [- x y e^{y}]) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x y e^{y}]$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [- x y e^{y}] + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.4

$- y e^{y}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x y e^{y}$ 의 미분은 $- y e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y} \frac{d}{d x} [x]) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y} \cdot 1) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y}) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y}) + (1 - x y e^{y}) \cdot 1$

단계 2.3.8

$1 - x y e^{y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y}) + 1 - x y e^{y}$

단계 2.4

$x (- y e^{y})$ 에서 $x y e^{y}$ 을 뺍니다.

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단계 2.4.1

$x$ 와 $- 1$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot x y e^{y} - x y e^{y} + 1$

단계 2.4.2

$- 1 \cdot x y e^{y}$ 에서 $x y e^{y}$ 을 뺍니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x y e^{y} + 1$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y)$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $- 2 x y e^{y} + 1$ 을 대입합니다.

$- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y) = - 2 x y e^{y} + 1$

단계 3.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y) = - 2 x y e^{y} + 1$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $- 2 x y e^{y} + 1$ 를 대입합니다.

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

단계 4.2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y)$ 를 대입합니다.

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 - (- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y))}{M}$

단계 4.3

$M$ 에 $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ 를 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$M$ 에 $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ 를 대입합니다.

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 - (- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y))}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

단계 4.3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 - (- 2 e^{y} x y) - (- 2 e^{y} x) - 1 \cdot 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

단계 4.3.2.2

간단히 합니다.

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단계 4.3.2.2.1

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 + 2 (e^{y} x y) - (- 2 e^{y} x) - 1 \cdot 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

단계 4.3.2.2.2

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 + 2 (e^{y} x y) + 2 (e^{y} x) - 1 \cdot 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

단계 4.3.2.2.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 + 2 (e^{y} x y) + 2 (e^{y} x) - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

단계 4.3.2.3

괄호를 제거합니다.

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 + 2 e^{y} x y + 2 e^{y} x - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

단계 4.3.2.4

$- 2 x y e^{y}$ 를 $2 e^{y} x y$ 에 더합니다.

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단계 4.3.2.4.1

$e^{y}$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 2 x y e^{y} + 2 x y e^{y} + 1 + 2 e^{y} x - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

단계 4.3.2.4.2

$- 2 x y e^{y}$ 를 $2 x y e^{y}$ 에 더합니다.

$\frac{0 + 1 + 2 e^{y} x - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

단계 4.3.2.5

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1 + 2 e^{y} x - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

단계 4.3.2.6

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{2 e^{y} x + 0 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

단계 4.3.2.7

$2 e^{y} x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 e^{y} x - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

단계 4.3.3

$y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.3.3.1

$y \ln (y)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 e^{y} x - \ln (y)}{y (\ln (y)) - 2 x y e^{y}}$

단계 4.3.3.2

$- 2 x y e^{y}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 e^{y} x - \ln (y)}{y (\ln (y)) + y (- 2 x e^{y})}$

단계 4.3.3.3

$y (\ln (y)) + y (- 2 x e^{y})$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 e^{y} x - \ln (y)}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

단계 4.3.4

$2 e^{y} x - \ln (y)$ 및 $\ln (y) - 2 x e^{y}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.4.1

$2 e^{y} x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (- 2 e^{y} x) - \ln (y)}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

단계 4.3.4.2

$- \ln (y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (- 2 e^{y} x) - (\ln (y))}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

단계 4.3.4.3

$- (- 2 e^{y} x) - (\ln (y))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (- 2 e^{y} x + \ln (y))}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

단계 4.3.4.4

$- (- 2 e^{y} x + \ln (y))$ 을 $- 1 (- 2 e^{y} x + \ln (y))$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (- 2 e^{y} x + \ln (y))}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

단계 4.3.4.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 1 (- 2 e^{y} x + \ln (y))}{y (- 2 e^{y} x + \ln (y))}$

단계 4.3.4.6

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1 (- 2 e^{y} x + \ln (y))}{y (- 2 e^{y} x + \ln (y))}$

단계 4.3.4.7

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{y}$

단계 4.3.5

$M$ 에 $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ 를 대입합니다.

$- \frac{1}{y}$

단계 4.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

단계 5

적분 $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

단계 5.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

단계 5.3

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

단계 5.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.4.1

$- 1$ 를 로그 안으로 옮겨 $- \ln (| y |)$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

단계 5.4.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

단계 5.4.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

단계 6

$(y \ln (y) - 2 x y e^{y}) d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $\frac{1}{y}$ 를 곱합니다.

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단계 6.1

$y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ 에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$(y \ln (y) - 2 x y e^{y}) \frac{1}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

단계 6.2

$y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ 에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

단계 6.3

$y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.3.1

$y \ln (y)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (\ln (y)) - 2 x y e^{y}}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

단계 6.3.2

$- 2 x y e^{y}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (\ln (y)) + y (- 2 x e^{y})}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

단계 6.3.3

$y (\ln (y)) + y (- 2 x e^{y})$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

단계 6.4

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

단계 6.4.2

$\ln (y) - 2 x e^{y}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

단계 6.5

$x (1 - x y e^{y})$ 에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + x (1 - x y e^{y}) \frac{1}{y} d y = 0$

단계 6.6

분배 법칙을 적용합니다.

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x \cdot 1 + x (- x y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

단계 6.7

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x + x (- x y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

단계 6.8

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x - x (x y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

단계 6.9

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 6.9.1

$x$ 를 옮깁니다.

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x - (x \cdot x) (y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

단계 6.9.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x - x^{2} (y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x - x^{2} y e^{y}) \frac{1}{y} d y = 0$

단계 6.10

$x - x^{2} y e^{y}$ 에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x - x^{2} y e^{y}}{y} d y = 0$

단계 6.11

$x - x^{2} y e^{y}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.11.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x^{1} - x^{2} y e^{y}}{y} d y = 0$

단계 6.11.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x \cdot 1 - x^{2} y e^{y}}{y} d y = 0$

단계 6.11.3

$- x^{2} y e^{y}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x \cdot 1 + x (- x y e^{y})}{y} d y = 0$

단계 6.11.4

$x \cdot 1 + x (- x y e^{y})$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x (1 - x y e^{y})}{y} d y = 0$

단계 7

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int \ln (y) - 2 x e^{y} d x$

단계 8

$M (x, y) = \ln (y) - 2 x e^{y}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 8.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f (x, y) = \int \ln (y) d x + \int - 2 x e^{y} d x$

단계 8.2

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = \ln (y) x + C + \int - 2 x e^{y} d x$

단계 8.3

$- 2 e^{y}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 2 e^{y}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = \ln (y) x + C - 2 e^{y} \int x d x$

단계 8.4

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = \ln (y) x + C - 2 e^{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

단계 8.5

간단히 합니다.

$f (x, y) = \ln (y) x - 2 \cdot \frac{1}{2} e^{y} x^{2} + C$

단계 8.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{- 2}{2} e^{y} x^{2} + C$

단계 8.6.2

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.6.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{2 \cdot - 1}{2} e^{y} x^{2} + C$

단계 8.6.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} e^{y} x^{2} + C$

단계 8.6.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} e^{y} x^{2} + C$

단계 8.6.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{- 1}{1} e^{y} x^{2} + C$

단계 8.6.2.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + C$

단계 9

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + g (y)$

단계 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

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단계 11.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [\ln (y) x - e^{y} x^{2} + g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

단계 11.2

합의 법칙에 의해 $\ln (y) x - e^{y} x^{2} + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [\ln (y) x] + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [\ln (y) x] + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

단계 11.3

$\frac{d}{d y} [\ln (y) x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 11.3.1

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $\ln (y) x$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ 입니다.

$x \frac{d}{d y} [\ln (y)] + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

단계 11.3.2

$\ln (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{y}$ 입니다.

$x \frac{1}{y} + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

단계 11.3.3

$x$ 와 $\frac{1}{y}$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{y} + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

단계 11.4

$\frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 11.4.1

$- x^{2}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- e^{y} x^{2}$ 의 미분은 $- x^{2} \frac{d}{d y} [e^{y}]$ 입니다.

$\frac{x}{y} - x^{2} \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

단계 11.4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ 은 $a^{y} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x}{y} - x^{2} e^{y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

단계 11.5

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$\frac{x}{y} - x^{2} e^{y} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

단계 11.6

간단히 합니다.

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단계 11.6.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} - e^{y} x^{2} + \frac{x}{y} = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

단계 11.6.2

$\frac{d g}{d y} - e^{y} x^{2} + \frac{x}{y}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x}{y} = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

단계 12

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.1

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 12.1.1

방정식의 양변에서 $\frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x}{y} - \frac{x (1 - x y e^{y})}{y} = 0$

단계 12.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x (1 - x y e^{y})}{y} = 0$

단계 12.1.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x \cdot 1 - x (- x y e^{y})}{y} = 0$

단계 12.1.3.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x - x (- x y e^{y})}{y} = 0$

단계 12.1.3.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 12.1.3.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x - (x \cdot x) (- y e^{y})}{y} = 0$

단계 12.1.3.3.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x - x^{2} (- y e^{y})}{y} = 0$

단계 12.1.3.4

$- x^{2} (- y e^{y})$ 을 곱합니다.

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단계 12.1.3.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x + 1 x^{2} (y e^{y})}{y} = 0$

단계 12.1.3.4.2

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x + x^{2} (y e^{y})}{y} = 0$

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x + x^{2} y e^{y}}{y} = 0$

단계 12.1.4

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{0 + x^{2} y e^{y}}{y} = 0$

단계 12.1.5

$0$ 를 $x^{2} y e^{y}$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x^{2} y e^{y}}{y} = 0$

단계 12.1.6

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.1.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x^{2} y e^{y}}{y} = 0$

단계 12.1.6.2

$x^{2} e^{y}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + x^{2} e^{y} = 0$

단계 12.1.7

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + x^{2} e^{y}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 12.1.7.1

$- x^{2} e^{y}$ 를 $x^{2} e^{y}$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

단계 12.1.7.2

$\frac{d g}{d y}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = 0$

단계 13

$0$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

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단계 13.1

$\frac{d g}{d y} = 0$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

단계 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int 0 d y$

단계 13.3

$0$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $0$ 입니다.

$g (y) = 0 + C$

단계 13.4

$0$ 를 $C$ 에 더합니다.

$g (y) = C$

단계 14

$f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + C$

단계 15

$f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + C$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = x \ln (y) - x^{2} e^{y} + C$