미적분 예제

$\frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y + (x y^{2} - y) d x = 0$

단계 1

완전미분 방정식 해법에 맞도록 미분 방정식을 다시 작성합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

다시 씁니다.

$(x y^{2} - y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

단계 2

$M (x, y) = x y^{2} - y$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2} - y]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $x y^{2} - y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

단계 2.3

$\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $x y^{2}$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y) + \frac{d}{d y} [- y]$

단계 2.3.3

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + \frac{d}{d y} [- y]$

단계 2.4

$\frac{d}{d y} [- y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.4.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - 1 \cdot 1$

단계 2.4.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - 1$

단계 3

$N (x, y) = \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2}$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 3.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2}]$

단계 3.2

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

$3 x^{2} y - 4 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.2.1.1

$3 x^{2} y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x y) - 4 x}{2}]$

단계 3.2.1.2

$- 4 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x y) + x \cdot - 4}{2}]$

단계 3.2.1.3

$x (3 x y) + x \cdot - 4$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x y - 4)}{2}]$

단계 3.2.2

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x (3 x y - 4)}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x (3 x y - 4)]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x (3 x y - 4)]$

단계 3.3

$f (x) = x$ , $g (x) = 3 x y - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [3 x y - 4] + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4

미분합니다.

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단계 3.4.1

합의 법칙에 의해 $3 x y - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4.2

$3 y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x y$ 의 미분은 $3 y \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4.5

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y + 0) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.1

$3 y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4.6.2

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (3 \cdot x y + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (3 x y + (3 x y - 4) \cdot 1)$

단계 3.4.8

항을 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 3.4.8.1

$3 x y - 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (3 x y + 3 x y - 4)$

단계 3.4.8.2

$3 x y$ 를 $3 x y$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (6 x y - 4)$

단계 3.5

간단히 합니다.

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단계 3.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (6 x y) + \frac{1}{2} \cdot - 4$

단계 3.5.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

$6$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{6}{2} (x y) + \frac{1}{2} \cdot - 4$

단계 3.5.2.2

$x$ 와 $\frac{6}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 6}{2} y + \frac{1}{2} \cdot - 4$

단계 3.5.2.3

$\frac{x \cdot 6}{2}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 6 y}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

단계 3.5.2.4

$x$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{6 \cdot x y}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

단계 3.5.2.5

$6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.5.1

$6 x y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 (3 x y)}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

단계 3.5.2.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.5.2.5.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 (3 x y)}{2 (1)} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

단계 3.5.2.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 (3 x y)}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

단계 3.5.2.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{3 x y}{1} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

단계 3.5.2.5.2.4

$3 x y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{1}{2} \cdot - 4$

단계 3.5.2.6

$\frac{1}{2}$ 와 $- 4$ 을 묶습니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{- 4}{2}$

단계 3.5.2.7

$- 4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.7.1

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

단계 3.5.2.7.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.7.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

단계 3.5.2.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.2.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{- 2}{1}$

단계 3.5.2.7.2.4

$- 2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y - 2$

단계 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $2 x y - 1$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $3 x y - 2$ 을 대입합니다.

$2 x y - 1 = 3 x y - 2$

단계 4.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$2 x y - 1 = 3 x y - 2$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 5

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $3 x y - 2$ 를 대입합니다.

$\frac{3 x y - 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

단계 5.2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $2 x y - 1$ 를 대입합니다.

$\frac{3 x y - 2 - (2 x y - 1)}{M}$

단계 5.3

$M$ 에 $x y^{2} - y$ 를 대입합니다.

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단계 5.3.1

$M$ 에 $x y^{2} - y$ 를 대입합니다.

$\frac{3 x y - 2 - (2 x y - 1)}{x y^{2} - y}$

단계 5.3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x y - 2 - (2 x y) - - 1}{x y^{2} - y}$

단계 5.3.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x y - 2 - 2 (x y) - - 1}{x y^{2} - y}$

단계 5.3.2.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x y - 2 - 2 (x y) + 1}{x y^{2} - y}$

단계 5.3.2.4

$3 x y$ 에서 $2 x y$ 을 뺍니다.

$\frac{1 x y - 2 + 1}{x y^{2} - y}$

단계 5.3.2.5

$- 2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1 x y - 1}{x y^{2} - y}$

단계 5.3.2.6

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x y - 1}{x y^{2} - y}$

단계 5.3.3

$x y^{2} - y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.3.1

$x y^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x y - 1}{y (x y) - y}$

단계 5.3.3.2

$- y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x y - 1}{y (x y) + y \cdot - 1}$

단계 5.3.3.3

$y (x y) + y \cdot - 1$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x y - 1}{y (x y - 1)}$

단계 5.3.4

$M$ 에 $x y^{2} - y$ 를 대입합니다.

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단계 5.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x y - 1}{y (x y - 1)}$

단계 5.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y}$

단계 5.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

단계 6

적분 $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ 을 구합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

단계 6.2

답을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

단계 6.2.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = | y | + C$

단계 7

$(x y^{2} - y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $y$ 를 곱합니다.

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단계 7.1

$x y^{2} - y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$(x y^{2} - y) y d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(x y^{2} y - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

단계 7.3

지수를 더하여 $y^{2}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

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단계 7.3.1

$y$ 를 옮깁니다.

$(x (y \cdot y^{2}) - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

단계 7.3.2

$y$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$(x (y^{1} y^{2}) - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

단계 7.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(x y^{1 + 2} - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

단계 7.3.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$(x y^{3} - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

단계 7.4

지수를 더하여 $y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

$y$ 를 옮깁니다.

$(x y^{3} - (y \cdot y)) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

단계 7.4.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

단계 7.5

$\frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} y d y = 0$

단계 7.6

$3 x^{2} y - 4 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.6.1

$3 x^{2} y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y) - 4 x}{2} y d y = 0$

단계 7.6.2

$- 4 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y) + x \cdot - 4}{2} y d y = 0$

단계 7.6.3

$x (3 x y) + x \cdot - 4$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y - 4)}{2} y d y = 0$

단계 7.7

$\frac{x (3 x y - 4)}{2}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y - 4) y}{2} d y = 0$

단계 7.8

$\frac{x (3 x y - 4) y}{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x y (3 x y - 4)}{2} d y = 0$

단계 8

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int \frac{x y (3 x y - 4)}{2} d y$

단계 9

$N (x, y) = \frac{x y (3 x y - 4)}{2}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 9.1

$\frac{x}{2}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $\frac{x}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y (3 x y - 4) d y$

단계 9.2

$y (3 x y - 4)$ 을 전개합니다.

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단계 9.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y (3 x y) + y \cdot - 4 d y$

단계 9.2.2

괄호를 옮깁니다.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y (3 x) y + y \cdot - 4 d y$

단계 9.2.3

괄호를 제거합니다.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y \cdot 3 x y + y \cdot - 4 d y$

단계 9.2.4

$y$ 와 $3$ 을 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 \cdot y x y + y \cdot - 4 d y$

단계 9.2.5

$y$ 와 $- 4$ 을 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 y x y - 4 y d y$

단계 9.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x (y^{1} y) - 4 y d y$

단계 9.3.2

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x (y^{1} y^{1}) - 4 y d y$

단계 9.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x y^{1 + 1} - 4 y d y$

단계 9.3.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x y^{2} - 4 y d y$

단계 9.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (\int 3 x y^{2} d y + \int - 4 y d y)$

단계 9.5

$3 x$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $3 x$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x \int y^{2} d y + \int - 4 y d y)$

단계 9.6

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int - 4 y d y)$

단계 9.7

$\frac{1}{3}$ 와 $y^{3}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) + \int - 4 y d y)$

단계 9.8

$- 4$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 \int y d y)$

단계 9.9

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

단계 9.10

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{y^{2}}{2} + C))$

단계 9.11

간단히 합니다.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

단계 9.12

항을 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

단계 10

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y^{3} - y^{2}$

단계 12

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

단계 12.2

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

단계 12.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2})]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2} (x y^{3} - 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

단계 12.3.2

$f (x) = \frac{x}{2}$ , $g (x) = x y^{3} - 2 y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x}{2} \frac{d}{d x} [x y^{3} - 2 y^{2}] + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

단계 12.3.3

합의 법칙에 의해 $x y^{3} - 2 y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{x}{2} (\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

단계 12.3.4

$y^{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $x y^{3}$ 의 미분은 $y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{x}{2} (y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

단계 12.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

단계 12.3.6

$- 2 y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2 y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2 y^{2}$ 입니다.

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

단계 12.3.7

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

단계 12.3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

단계 12.3.9

$y^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{2} (y^{3} + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

단계 12.3.10

$y^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x}{2} y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

단계 12.3.11

$\frac{x}{2}$ 와 $y^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{x y^{3}}{2} + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

단계 12.3.12

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x y^{3}}{2} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

단계 12.3.13

공통 분모를 가지는 분수로 $(x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x y^{3}}{2} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

단계 12.3.14

$(x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x y^{3}}{2} + \frac{(x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

단계 12.3.15

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

단계 12.3.16

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{2}{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

단계 12.3.17

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.17.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{2}{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

단계 12.3.17.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \cdot 1}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

단계 12.3.18

$x y^{3} - 2 y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x y^{3} + x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

단계 12.3.19

$x y^{3}$ 를 $x y^{3}$ 에 더합니다.

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

단계 12.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{2}$

단계 12.5

간단히 합니다.

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단계 12.5.1

항을 묶습니다.

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단계 12.5.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{d g}{d x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d g}{d x} \cdot \frac{2}{2} = x y^{3} - y^{2}$

단계 12.5.1.2

$\frac{d g}{d x}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{\frac{d g}{d x} \cdot 2}{2} = x y^{3} - y^{2}$

단계 12.5.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2} + \frac{d g}{d x} \cdot 2}{2} = x y^{3} - y^{2}$

단계 12.5.1.4

$\frac{d g}{d x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2} + 2 \cdot \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

단계 12.5.1.5

$2 x y^{3} - 2 y^{2} + 2 \frac{d g}{d x}$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.5.1.5.1

$2 x y^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x y^{3}) - 2 y^{2} + 2 \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

단계 12.5.1.5.2

$- 2 y^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x y^{3}) + 2 (- y^{2}) + 2 \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

단계 12.5.1.5.3

$2 (x y^{3}) + 2 (- y^{2})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2}) + 2 \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

단계 12.5.1.5.4

$2 \frac{d g}{d x}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2}) + 2 (\frac{d g}{d x})}{2} = x y^{3} - y^{2}$

단계 12.5.1.5.5

$2 (x y^{3} - y^{2}) + 2 (\frac{d g}{d x})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x})}{2} = x y^{3} - y^{2}$

단계 12.5.1.5.6

공약수로 약분합니다.

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단계 12.5.1.5.6.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x})}{2 (1)} = x y^{3} - y^{2}$

단계 12.5.1.5.6.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x})}{2 \cdot 1} = x y^{3} - y^{2}$

단계 12.5.1.5.6.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x}}{1} = x y^{3} - y^{2}$

단계 12.5.1.5.6.4

$x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{2}$

단계 12.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} + y^{3} x = x y^{3} - y^{2}$

단계 13

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 13.1

$\frac{d g}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 13.1.1

방정식의 양변에 $y^{2}$ 를 더합니다.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x = x y^{3} - y^{2} + y^{2}$

단계 13.1.2

방정식의 양변에서 $y^{3} x$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{2} + y^{2} - y^{3} x$

단계 13.1.3

$x y^{3} - y^{2} + y^{2} - y^{3} x$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 13.1.3.1

$- y^{2}$ 를 $y^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = x y^{3} + 0 - y^{3} x$

단계 13.1.3.2

$x y^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{3} x$

단계 13.1.3.3

인수가 항 $x y^{3}$ 과(와) $- y^{3} x$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} = y^{3} x - y^{3} x$

단계 13.1.3.4

$y^{3} x$ 에서 $y^{3} x$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = 0$

단계 14

$0$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

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단계 14.1

$\frac{d g}{d x} = 0$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

단계 14.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int 0 d x$

단계 14.3

$0$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $0$ 입니다.

$g (x) = 0 + C$

단계 14.4

$0$ 를 $C$ 에 더합니다.

$g (x) = C$

단계 15

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

단계 16

각 항을 간단히 합니다.

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단계 16.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

단계 16.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (x y^{3}) + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

단계 16.3

$\frac{x}{2} (x y^{3})$ 을 곱합니다.

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단계 16.3.1

$x$ 와 $\frac{x}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{x \cdot x}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

단계 16.3.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (x, y) = \frac{x^{1} x}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

단계 16.3.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (x, y) = \frac{x^{1} x^{1}}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

단계 16.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (x, y) = \frac{x^{1 + 1}}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

단계 16.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

단계 16.3.6

$\frac{x^{2}}{2}$ 와 $y^{3}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

단계 16.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} - 2 \frac{x}{2} y^{2} + C$

단계 16.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 16.5.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} + 2 (- 1) \frac{x}{2} y^{2} + C$

단계 16.5.2

공약수로 약분합니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{x}{2} y^{2} + C$

단계 16.5.3

수식을 다시 씁니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} - x y^{2} + C$