미적분 예제

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} = - x y$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} = - x y$ 의 각 항을 $1 + x^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} = - x y$ 의 각 항을 $1 + x^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x}}{1 + x^{2}} = \frac{- x y}{1 + x^{2}}$

단계 1.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$1 + x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x}}{1 + x^{2}} = \frac{- x y}{1 + x^{2}}$

단계 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y}{1 + x^{2}}$

단계 1.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{1 + x^{2}}$

단계 1.2

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x^{2}} y$

단계 1.3

양변에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{x}{1 + x^{2}} y)$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} (\frac{x}{1 + x^{2}} y)$

단계 1.4.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$- \frac{1}{y}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (\frac{x}{1 + x^{2}} y)$

단계 1.4.2.2

$\frac{x}{1 + x^{2}} y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{x}{1 + x^{2}})$

단계 1.4.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{x}{1 + x^{2}})$

단계 1.4.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x^{2}}$

단계 1.5

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.3.2

먼저 $u = 1 + x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$u = 1 + x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

$1 + x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

단계 2.3.2.1.2

합의 법칙에 의해 $1 + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3.2.1.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3.2.1.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 2 x$

단계 2.3.2.1.5

$0$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 2.3.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2.3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

단계 2.3.3.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u} d u$

단계 2.3.4

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

단계 2.3.5

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

단계 2.3.6

간단히 합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

단계 2.3.7

$u$ 를 모두 $1 + x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$\ln (| 1 + x^{2} |)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\ln (| y |) = - \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C$

단계 3.2

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

단계 3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\ln (| y |)$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

단계 3.4

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$\ln (| y |)$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

단계 3.4.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

단계 3.5

$\ln (| y |)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

단계 3.6

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| 1 + x^{2} |)}{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.1.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (| y |)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) + \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

단계 3.6.1.1.2

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| y |}^{2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$\frac{\ln (y^{2}) + \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

단계 3.6.1.1.3

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\frac{\ln (y^{2} | 1 + x^{2} |)}{2} = C$

단계 3.6.1.2

$\frac{\ln (y^{2} | 1 + x^{2} |)}{2}$ 을 $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | 1 + x^{2} |)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \ln (y^{2} | 1 + x^{2} |) = C$

단계 3.6.1.3

$\frac{1}{2}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | 1 + x^{2} |)$ 을 간단히 합니다.

$\ln ({(y^{2} | 1 + x^{2} |)}^{\frac{1}{2}}) = C$

단계 3.6.1.4

$y^{2} | 1 + x^{2} |$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\ln ({(y^{2})}^{\frac{1}{2}} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) = C$

단계 3.6.1.5

${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) = C$

단계 3.6.1.5.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.5.2.1

공약수로 약분합니다.

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) = C$

단계 3.6.1.5.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\ln (y^{1} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) = C$

단계 3.6.1.6

간단히 합니다.

$\ln (y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) = C$

단계 3.7

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})} = e^{C}$

단계 3.8

로그의 정의를 이용하여 $\ln (y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) = C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{C} = y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

단계 3.9

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.1

$y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$

단계 3.9.2

$y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ 의 각 항을 ${| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.1

$y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ 의 각 항을 ${| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ 로 나눕니다.

$\frac{y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.9.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.9.2.2.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{e^{C}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{C}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$