미적분 예제

$x \frac{d y}{d x} - 4 y + 2 x = 0$ , $y (1) = 10$

단계 1

$\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에서 $2 x$ 를 뺍니다.

$x \frac{d y}{d x} - 4 y = - 2 x$

단계 1.2

$x \frac{d y}{d x} - 4 y = - 2 x$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{- 2 x}{x}$

단계 1.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{- 2 x}{x}$

단계 1.3.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{- 2 x}{x}$

단계 1.4

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{- 2 x}{x}$

단계 1.4.2

$- 2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = - 2$

단계 1.5

$\frac{- 4 y}{x}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 4}{x} = - 2$

단계 1.6

$y$ 와 $\frac{- 4}{x}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4}{x} y = - 2$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = \frac{- 4}{x}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int \frac{- 4}{x} d x}$

단계 2.2

$\frac{- 4}{x}$ 를 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

단계 2.2.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

단계 2.2.3

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

단계 2.2.4

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

단계 2.2.5

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

단계 2.2.6

간단히 합니다.

$e^{- 4 \ln (| x |) + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{- 4 \ln (x)}$

단계 2.4

로그 멱의 법칙을 사용합니다.

$e^{\ln (x^{- 4})}$

단계 2.5

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$x^{- 4}$

단계 2.6

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x^{4}}$

단계 3

각 항에 적분 인수 $\frac{1}{x^{4}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 항에 $\frac{1}{x^{4}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{4}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{4}} (\frac{- 4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

단계 3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$\frac{1}{x^{4}}$ 와 $\frac{d y}{d x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} (\frac{- 4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

단계 3.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} (- \frac{4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

단계 3.2.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{1}{x^{4}} (\frac{4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

단계 3.2.4

$\frac{4}{x}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{4 y}{x} = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

단계 3.2.5

$- \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{4 y}{x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.1

$\frac{4 y}{x}$ 에 $\frac{1}{x^{4}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x \cdot x^{4}} = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

단계 3.2.5.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.2.1

$x$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.2.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{1} x^{4}} = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

단계 3.2.5.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{1 + 4}} = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

단계 3.2.5.2.2

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

단계 3.3

$\frac{1}{x^{4}}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{- 2}{x^{4}}$

단계 3.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = - \frac{2}{x^{4}}$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} y] = - \frac{2}{x^{4}}$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} y] d x = \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$\frac{1}{x^{4}} y = \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

단계 7

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{x^{4}} y = - \int \frac{2}{x^{4}} d x$

단계 7.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{x^{4}} y = - (2 \int \frac{1}{x^{4}} d x)$

단계 7.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

단계 7.3.2

$x^{4}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

단계 7.3.3

${(x^{4})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

단계 7.3.3.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 \int x^{- 4} d x$

단계 7.4

멱의 법칙에 의해 $x^{- 4}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

단계 7.5

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1.1

$x^{- 3}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

단계 7.5.1.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 3}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

단계 7.5.2

간단히 합니다.

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C$

단계 7.5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.3.1

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{4}} y = 2 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

단계 7.5.3.2

$2$ 와 $\frac{1}{3 x^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{x^{4}} y = \frac{2}{3 x^{3}} + C$

단계 8

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

방정식의 양변에서 $\frac{2}{3 x^{3}}$ 를 뺍니다.

$\frac{1}{x^{4}} y - \frac{2}{3 x^{3}} = C$

단계 8.1.2

방정식의 양변에서 $C$ 를 뺍니다.

$\frac{1}{x^{4}} y - \frac{2}{3 x^{3}} - C = 0$

단계 8.1.3

$\frac{1}{x^{4}}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{y}{x^{4}} - \frac{2}{3 x^{3}} - C = 0$

단계 8.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

방정식의 양변에 $\frac{2}{3 x^{3}}$ 를 더합니다.

$\frac{y}{x^{4}} - C = \frac{2}{3 x^{3}}$

단계 8.2.2

방정식의 양변에 $C$ 를 더합니다.

$\frac{y}{x^{4}} = \frac{2}{3 x^{3}} + C$

단계 8.3

양변에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{x^{4}} x^{4} = (\frac{2}{3 x^{3}} + C) x^{4}$

단계 8.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1.1

$x^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{x^{4}} x^{4} = (\frac{2}{3 x^{3}} + C) x^{4}$

단계 8.4.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y = (\frac{2}{3 x^{3}} + C) x^{4}$

단계 8.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1

$(\frac{2}{3 x^{3}} + C) x^{4}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{2}{3 x^{3}} x^{4} + C x^{4}$

단계 8.4.2.1.2

$x^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1.2.1

$3 x^{3}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2}{x^{3} \cdot 3} x^{4} + C x^{4}$

단계 8.4.2.1.2.2

$x^{4}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2}{x^{3} \cdot 3} (x^{3} x) + C x^{4}$

단계 8.4.2.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{2}{x^{3} \cdot 3} (x^{3} x) + C x^{4}$

단계 8.4.2.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{2}{3} x + C x^{4}$

단계 8.4.2.1.3

$\frac{2}{3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y = \frac{2 x}{3} + C x^{4}$

단계 8.4.2.1.4

$\frac{2 x}{3}$ 와 $C x^{4}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = C x^{4} + \frac{2 x}{3}$

단계 9

초기 조건을 활용하여 $y = C x^{4} + \frac{2 x}{3}$ 에서 $x$ 에 $1$ 을, $y$ 에 $10$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$10 = C \cdot 1^{4} + \frac{2 \cdot 1}{3}$

단계 10

$C$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$C \cdot 1^{4} + \frac{2 \cdot 1}{3} = 10$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$C \cdot 1^{4} + \frac{2 \cdot 1}{3} = 10$

단계 10.2

$C \cdot 1^{4} + \frac{2 \cdot 1}{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$C \cdot 1^{4} + \frac{2}{3} = 10$

단계 10.2.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$C \cdot 1 + \frac{2}{3} = 10$

단계 10.2.2.2

$C$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$C + \frac{2}{3} = 10$

단계 10.3

$C$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1

방정식의 양변에서 $\frac{2}{3}$ 를 뺍니다.

$C = 10 - \frac{2}{3}$

단계 10.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $10$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$C = 10 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

단계 10.3.3

$10$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$C = \frac{10 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

단계 10.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$C = \frac{10 \cdot 3 - 2}{3}$

단계 10.3.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.5.1

$10$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$C = \frac{30 - 2}{3}$

단계 10.3.5.2

$30$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$C = \frac{28}{3}$

단계 11

$y = C x^{4} + \frac{2 x}{3}$ 의 $C$ 에 $\frac{28}{3}$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$C$ 에 $\frac{28}{3}$ 를 대입합니다.

$y = \frac{28}{3} x^{4} + \frac{2 x}{3}$

단계 11.2

$\frac{28}{3}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{28 x^{4}}{3} + \frac{2 x}{3}$