미적분 예제

$(1 + y^{2}) d x + (x^{2} - 3 x + 2) d y = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $(1 + y^{2}) d x$ 를 뺍니다.

$(x^{2} - 3 x + 2) d y = - (1 + y^{2}) d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{(x^{2} - 3 x + 2) (1 + y^{2})}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(x^{2} - 3 x + 2) (1 + y^{2})} (x^{2} - 3 x + 2) d y = \frac{1}{(x^{2} - 3 x + 2) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$x^{2} - 3 x + 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{(x^{2} - 3 x + 2) (1 + y^{2})} (x^{2} - 3 x + 2) d y = \frac{1}{(x^{2} - 3 x + 2) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

단계 3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(x^{2} - 3 x + 2) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

단계 3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{(x^{2} - 3 x + 2) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

단계 3.3

$1 + y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- \frac{1}{(x^{2} - 3 x + 2) (1 + y^{2})}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(x^{2} - 3 x + 2) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

단계 3.3.2

$(x^{2} - 3 x + 2) (1 + y^{2})$ 에서 $1 + y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (x^{2} - 3 x + 2)} (1 + y^{2}) d x$

단계 3.3.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (x^{2} - 3 x + 2)} (1 + y^{2}) d x$

단계 3.3.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{x^{2} - 3 x + 2} d x$

단계 3.4

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 3 x + 2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $2$ 이고 합은 $- 3$ 입니다.

$- 2, - 1$

단계 3.4.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(x - 2) (x - 1)} d x$

단계 3.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{(x - 2) (x - 1)} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{(x - 2) (x - 1)} d x$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{(x - 2) (x - 1)} d x$

단계 4.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\arctan (y) + C_{1}$ 입니다.

$\arctan (y) + C_{1} = \int - \frac{1}{(x - 2) (x - 1)} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{(x - 2) (x - 1)} d x$

단계 4.3.2

부분 분수 분해를 사용하여 분수를 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $A$ 를 적습니다.

$\frac{A}{x - 2}$

단계 4.3.2.1.2

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $B$ 를 적습니다.

$\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 1}$

단계 4.3.2.1.3

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 $(x - 2) (x - 1)$ 입니다.

$\frac{1 (x - 2) (x - 1)}{(x - 2) (x - 1)} = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

단계 4.3.2.1.4

$x - 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 (x - 2) (x - 1)}{(x - 2) (x - 1)} = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

단계 4.3.2.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

단계 4.3.2.1.5

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

단계 4.3.2.1.5.2

수식을 다시 씁니다.

$1 = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

단계 4.3.2.1.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.6.1

$x - 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.6.1.1

공약수로 약분합니다.

$1 = \frac{A (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

단계 4.3.2.1.6.1.2

$(A) (x - 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

단계 4.3.2.1.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

단계 4.3.2.1.6.3

$A$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

단계 4.3.2.1.6.4

$- 1 A$ 을 $- A$ 로 바꿔 씁니다.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

단계 4.3.2.1.6.5

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.6.5.1

공약수로 약분합니다.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

단계 4.3.2.1.6.5.2

$(B) (x - 2)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 = A x - A + (B) (x - 2)$

단계 4.3.2.1.6.6

분배 법칙을 적용합니다.

$1 = A x - A + B x + B \cdot - 2$

단계 4.3.2.1.6.7

$B$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$1 = A x - A + B x - 2 B$

단계 4.3.2.1.7

$- A$ 를 옮깁니다.

$1 = A x + B x - A - 2 B$

단계 4.3.2.2

부분분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1

방정식의 각 변의 $x$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$0 = A + B$

단계 4.3.2.2.2

$x$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$1 = - 1 A - 2 B$

단계 4.3.2.2.3

부분분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A - 2 B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A - 2 B$

단계 4.3.2.3

연립방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.3.1

$0 = A + B$ 의 $A$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.3.1.1

$A + B = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$A + B = 0$

$1 = - 1 A - 2 B$

단계 4.3.2.3.1.2

방정식의 양변에서 $B$ 를 뺍니다.

$A = - B$

$1 = - 1 A - 2 B$

$A = - B$

$1 = - 1 A - 2 B$

단계 4.3.2.3.2

각 방정식에서 $A$ 를 모두 $- B$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.3.2.1

$1 = - 1 A - 2 B$ 의 $A$ 를 모두 $- B$ 로 바꿉니다.

$1 = - 1 (- B) - 2 B$

$A = - B$

단계 4.3.2.3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.3.2.2.1

$- 1 (- B) - 2 B$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.3.2.2.1.1

$- 1 (- B)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.3.2.2.1.1.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 = 1 B - 2 B$

$A = - B$

단계 4.3.2.3.2.2.1.1.2

$B$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 = B - 2 B$

$A = - B$

$1 = B - 2 B$

$A = - B$

단계 4.3.2.3.2.2.1.2

$B$ 에서 $2 B$ 을 뺍니다.

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

단계 4.3.2.3.3

$1 = - B$ 의 $B$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.3.3.1

$- B = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- B = 1$

$A = - B$

단계 4.3.2.3.3.2

$- B = 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.3.3.2.1

$- B = 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- B}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

단계 4.3.2.3.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.3.3.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{B}{1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

단계 4.3.2.3.3.2.2.2

$B$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

단계 4.3.2.3.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.3.3.2.3.1

$1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

단계 4.3.2.3.4

각 방정식에서 $B$ 를 모두 $- 1$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.3.4.1

$A = - B$ 의 $B$ 를 모두 $- 1$ 로 바꿉니다.

$A = - (- 1)$

$B = - 1$

단계 4.3.2.3.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.3.4.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

단계 4.3.2.3.5

모든 해를 나열합니다.

$A = 1, B = - 1$

단계 4.3.2.4

$A$ , $B$ 에 대해 구한 값을 $\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 1}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$\frac{1}{x - 2} + \frac{- 1}{x - 1}$

단계 4.3.2.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x - 1} d x$

단계 4.3.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\arctan (y) + C_{1} = - (\int \frac{1}{x - 2} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x)$

단계 4.3.4

먼저 $u_{1} = x - 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1

$u_{1} = x - 2$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1.1

$x - 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

단계 4.3.4.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 4.3.4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 4.3.4.1.4

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$1 + 0$

단계 4.3.4.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 4.3.4.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\arctan (y) + C_{1} = - (\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{x - 1} d x)$

단계 4.3.5

$\frac{1}{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{1} |)$ 입니다.

$\arctan (y) + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2} + \int - \frac{1}{x - 1} d x)$

단계 4.3.6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\arctan (y) + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2} - \int \frac{1}{x - 1} d x)$

단계 4.3.7

먼저 $u_{2} = x - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.7.1

$u_{2} = x - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.7.1.1

$x - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 4.3.7.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 4.3.7.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 4.3.7.1.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 4.3.7.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 4.3.7.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\arctan (y) + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

단계 4.3.8

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$\arctan (y) + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2} - (\ln (| u_{2} |) + C_{3}))$

단계 4.3.9

간단히 합니다.

$\arctan (y) + C_{1} = - \ln (\frac{| u_{1} |}{| u_{2} |}) + C_{4}$

단계 4.3.10

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.10.1

$u_{1}$ 를 모두 $x - 2$ 로 바꿉니다.

$\arctan (y) + C_{1} = - \ln (\frac{| x - 2 |}{| u_{2} |}) + C_{4}$

단계 4.3.10.2

$u_{2}$ 를 모두 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$\arctan (y) + C_{1} = - \ln (\frac{| x - 2 |}{| x - 1 |}) + C_{4}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\arctan (y) = - \ln (\frac{| x - 2 |}{| x - 1 |}) + C$

단계 5

방정식의 양변에서 역 아크탄젠트를 취하여 아크탄젠트 안의 $y$ 을 꺼냅니다.

$y = \tan (- \ln (\frac{| x - 2 |}{| x - 1 |}) + C)$