미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \sqrt{y}$

단계 1

베르누이 방법에 맞도록 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{y}$ 을(를) $y^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = y^{\frac{1}{2}}$

단계 1.2

$\frac{y}{x}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = y^{\frac{1}{2}}$

단계 1.3

$y$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{\frac{1}{2}}$

단계 2

미분 방정식을 풀려면 $y^{\frac{1}{2}}$ 의 지수가 $n$ 일 때 $v = y^{1 - n}$ 로 둡니다.

$v = y^{\frac{1}{2}}$

단계 3

$y$ 에 대해 식을 풉니다.

$y = v^{2}$

단계 4

$x$ 에 대해 $y$ 의 도함수를 구합니다.

$y' = v^{2}$

단계 5

$x$ 에 대해 $v^{2}$ 의 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$v^{2}$ 도함수를 구합니다.

$y' = \frac{d}{d x} [v^{2}]$

단계 5.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = v$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $v$ 로 바꿉니다.

$y' = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [v]$

단계 5.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y' = 2 u \frac{d}{d x} [v]$

단계 5.2.3

$u$ 를 모두 $v$ 로 바꿉니다.

$y' = 2 v \frac{d}{d x} [v]$

단계 5.3

$\frac{d}{d x} [v]$ 을 $v'$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = 2 v v'$

단계 6

원래 방정식 $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{\frac{1}{2}}$ 에서 $\frac{d y}{d x}$ 은 $2 v v'$ 으로, $y$ 은 $v^{2}$ 로 치환합니다.

$2 v v' + \frac{1}{x} v^{2} = {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$

단계 7

치환 미분 방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$2 v \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{2} = {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 의 각 항을 $2 v$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.1

$2 v \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{2} = {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 의 각 항을 $2 v$ 로 나눕니다.

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

단계 7.1.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.2.1.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

단계 7.1.1.2.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

단계 7.1.1.2.1.2

$v$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.2.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

단계 7.1.1.2.1.2.2

$\frac{d v}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

단계 7.1.1.2.1.3

$v^{2}$ 및 $v$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.2.1.3.1

$\frac{1}{x} v^{2}$ 에서 $v$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{1}{x} v)}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

단계 7.1.1.2.1.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.2.1.3.2.1

$2 v$ 에서 $v$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{1}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

단계 7.1.1.2.1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{1}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

단계 7.1.1.2.1.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{1}{x} v}{2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

단계 7.1.1.2.1.4

$\frac{1}{x}$ 와 $v$ 을 묶습니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{v}{x}}{2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

단계 7.1.1.2.1.5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

단계 7.1.1.2.1.6

$\frac{v}{x}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x \cdot 2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

단계 7.1.1.2.1.7

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

단계 7.1.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.1.1

${(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v^{2 (\frac{1}{2})}}{2 v}$

단계 7.1.1.3.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v^{2 (\frac{1}{2})}}{2 v}$

단계 7.1.1.3.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v^{1}}{2 v}$

단계 7.1.1.3.1.2

간단히 합니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v}{2 v}$

단계 7.1.1.3.2

$v$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v}{2 v}$

단계 7.1.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{1}{2}$

단계 7.1.2

$\frac{v}{2 x}$ 에서 $v$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d v}{d x} + v \frac{1}{2 x} = \frac{1}{2}$

단계 7.1.3

$v$ 와 $\frac{1}{2 x}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{2 x} v = \frac{1}{2}$

단계 7.2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = \frac{1}{2 x}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int \frac{1}{2 x} d x}$

단계 7.2.2

$\frac{1}{2 x}$ 를 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x}$

단계 7.2.2.2

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$e^{\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

단계 7.2.2.3

간단히 합니다.

$e^{\frac{1}{2} \ln (| x |) + C}$

단계 7.2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{\frac{1}{2} \ln (x)}$

단계 7.2.4

로그 멱의 법칙을 사용합니다.

$e^{\ln (x^{\frac{1}{2}})}$

단계 7.2.5

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$x^{\frac{1}{2}}$

단계 7.3

각 항에 적분 인수 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

각 항에 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x} v) = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

단계 7.3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.1

$\frac{1}{2 x}$ 와 $v$ 을 묶습니다.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + x^{\frac{1}{2}} \frac{v}{2 x} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

단계 7.3.2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{v}{2 x}$ 을 묶습니다.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{x^{\frac{1}{2}} v}{2 x} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

단계 7.3.2.3

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

단계 7.3.2.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.4.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x)} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

단계 7.3.2.4.2

$x^{- \frac{1}{2}}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

단계 7.3.2.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{- \frac{1}{2} + 1}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

단계 7.3.2.4.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

단계 7.3.2.4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

단계 7.3.2.4.5

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

단계 7.3.3

$x^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 7.4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} v] = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 7.5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} v] d x = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} d x$

단계 7.6

좌변을 적분합니다.

$x^{\frac{1}{2}} v = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} d x$

단계 7.7

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

단계 7.7.2

멱의 법칙에 의해 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

단계 7.7.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.3.1

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$ 을 $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

단계 7.7.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.3.2.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

단계 7.7.3.2.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

단계 7.7.3.2.3

$2$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.3.2.3.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2 (1)}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

단계 7.7.3.2.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.3.2.3.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

단계 7.7.3.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

단계 7.7.3.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

단계 7.8

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ 의 각 항을 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.1

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ 의 각 항을 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 나눕니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} v}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 7.8.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} v}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 7.8.2.2

$v$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$v = \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 7.8.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.3.1.1

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 분자로 이동합니다.

$v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 7.8.3.1.2

지수를 더하여 $x^{\frac{3}{2}}$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.3.1.2.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$v = \frac{1}{3} (x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 7.8.3.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$v = \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 7.8.3.1.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$v = \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 + 3}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 7.8.3.1.2.4

$- 1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$v = \frac{1}{3} x^{\frac{2}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 7.8.3.1.2.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$v = \frac{1}{3} x^{1} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 7.8.3.1.3

$\frac{1}{3} x^{1}$ 을 간단히 합니다.

$v = \frac{1}{3} x + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 7.8.3.1.4

$\frac{1}{3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$v = \frac{x}{3} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 8

$v$ 에 $y^{\frac{1}{2}}$ 를 대입합니다.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{x}{3} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$