미적분 예제

$e^{5 y} d y = e^{5 x} d x$

단계 1

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int e^{5 y} d y = \int e^{5 x} d x$

단계 1.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

먼저 $u_{1} = 5 y$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 5 d y$ 이므로 $\frac{1}{5} d u_{1} = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

$u_{1} = 5 y$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1.1

$5 y$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [5 y]$

단계 1.2.1.1.2

$5$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $5 y$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.2.1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 \cdot 1$

단계 1.2.1.1.4

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5$

단계 1.2.1.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{5} d u_{1} = \int e^{5 x} d x$

단계 1.2.2

$e^{u_{1}}$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{e^{u_{1}}}{5} d u_{1} = \int e^{5 x} d x$

단계 1.2.3

$\frac{1}{5}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{5}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{5} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int e^{5 x} d x$

단계 1.2.4

$e^{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{5} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int e^{5 x} d x$

단계 1.2.5

간단히 합니다.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}} + C_{1} = \int e^{5 x} d x$

단계 1.2.6

$u_{1}$ 를 모두 $5 y$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \int e^{5 x} d x$

단계 1.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

먼저 $u_{2} = 5 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 5 d x$ 이므로 $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

$u_{2} = 5 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1.1

$5 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [5 x]$

단계 1.3.1.1.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 \cdot 1$

단계 1.3.1.1.4

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5$

단계 1.3.1.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \int e^{u_{2}} \frac{1}{5} d u_{2}$

단계 1.3.2

$e^{u_{2}}$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \int \frac{e^{u_{2}}}{5} d u_{2}$

단계 1.3.3

$\frac{1}{5}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{5}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \frac{1}{5} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

단계 1.3.4

$e^{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \frac{1}{5} (e^{u_{2}} + C_{2})$

단계 1.3.5

간단히 합니다.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \frac{1}{5} e^{u_{2}} + C_{2}$

단계 1.3.6

$u_{2}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \frac{1}{5} e^{5 x} + C_{2}$

단계 1.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{5} e^{5 y} = \frac{1}{5} e^{5 x} + K$

단계 2

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식의 양변에 $5$ 을 곱합니다.

$5 (\frac{1}{5} e^{5 y}) = 5 (\frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

단계 2.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$5 (\frac{1}{5} e^{5 y})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.1

$\frac{1}{5}$ 와 $e^{5 y}$ 을 묶습니다.

$5 \frac{e^{5 y}}{5} = 5 (\frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

단계 2.2.1.1.2

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$5 \frac{e^{5 y}}{5} = 5 (\frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

단계 2.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{5 y} = 5 (\frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

단계 2.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$5 (\frac{1}{5} e^{5 x} + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

$\frac{1}{5}$ 와 $e^{5 x}$ 을 묶습니다.

$e^{5 y} = 5 (\frac{e^{5 x}}{5} + K)$

단계 2.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{5 y} = 5 \frac{e^{5 x}}{5} + 5 K$

단계 2.2.2.1.3

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$e^{5 y} = 5 \frac{e^{5 x}}{5} + 5 K$

단계 2.2.2.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{5 y} = e^{5 x} + 5 K$

단계 2.3

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{5 y}) = \ln (e^{5 x} + 5 K)$

단계 2.4

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$5 y$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{5 y})$ 을 전개합니다.

$5 y \ln (e) = \ln (e^{5 x} + 5 K)$

단계 2.4.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$5 y \cdot 1 = \ln (e^{5 x} + 5 K)$

단계 2.4.3

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 y = \ln (e^{5 x} + 5 K)$

단계 2.5

$5 y = \ln (e^{5 x} + 5 K)$ 의 각 항을 $5$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$5 y = \ln (e^{5 x} + 5 K)$ 의 각 항을 $5$ 로 나눕니다.

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (e^{5 x} + 5 K)}{5}$

단계 2.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (e^{5 x} + 5 K)}{5}$

단계 2.5.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\ln (e^{5 x} + 5 K)}{5}$

단계 3

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{\ln (e^{5 x} + K)}{5}$