미적분 예제

$5 y^{2} + 10 x y y' = 0$

단계 1

미분 방정식을 다시 씁니다.

$5 y^{2} + 10 x y \frac{d y}{d x} = 0$

단계 2

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{d y}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

방정식의 양변에서 $5 y^{2}$ 를 뺍니다.

$10 x y \frac{d y}{d x} = - 5 y^{2}$

단계 2.1.2

$10 x y \frac{d y}{d x} = - 5 y^{2}$ 의 각 항을 $10 x y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$10 x y \frac{d y}{d x} = - 5 y^{2}$ 의 각 항을 $10 x y$ 로 나눕니다.

$\frac{10 x y \frac{d y}{d x}}{10 x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

단계 2.1.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.1

$10$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{10 x y \frac{d y}{d x}}{10 x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

단계 2.1.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

단계 2.1.2.2.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

단계 2.1.2.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

단계 2.1.2.2.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

단계 2.1.2.2.3.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

단계 2.1.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.1

$- 5$ 및 $10$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.1.1

$- 5 y^{2}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 (- y^{2})}{10 x y}$

단계 2.1.2.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.1.2.1

$10 x y$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 (- y^{2})}{5 (2 x y)}$

단계 2.1.2.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 (- y^{2})}{5 (2 x y)}$

단계 2.1.2.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2}}{2 x y}$

단계 2.1.2.3.2

$y^{2}$ 및 $y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.2.1

$- y^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y)}{2 x y}$

단계 2.1.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.2.2.1

$2 x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

단계 2.1.2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

단계 2.1.2.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{2 x}$

단계 2.1.2.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{2 x}$

단계 2.2

양변에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{y}{2 x})$

단계 2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{2 x}$

단계 2.3.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$- \frac{1}{y}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{2 x}$

단계 2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{2 x}$

단계 2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{2 x}$

단계 2.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{2 x} d x$

단계 3

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{2 x} d x$

단계 3.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{2 x} d x$

단계 3.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 x} d x$

단계 3.3.2

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x)$

단계 3.3.3

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C_{2})$

단계 3.3.4

간단히 합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| x |) + C_{2}$

단계 3.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

단계 4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$\ln (| x |)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\ln (| y |) = - \frac{\ln (| x |)}{2} + C$

단계 4.2

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x |)}{2} = C$

단계 4.3

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x |)}{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.1.1

$\frac{\ln (| x |)}{2}$ 을 $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (| y |) + \frac{1}{2} \ln (| x |) = C$

단계 4.3.1.1.2

$\frac{1}{2}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

$\ln (| y |) + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

단계 4.3.1.2

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\ln (| y | {| x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

단계 4.3.1.3

$\ln (| y | {| x |}^{\frac{1}{2}})$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}} | y |) = C$

단계 4.4

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}} | y |)} = e^{C}$

단계 4.5

로그의 정의를 이용하여 $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}} | y |) = C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{C} = {| x |}^{\frac{1}{2}} | y |$

단계 4.6

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1

${| x |}^{\frac{1}{2}} | y | = e^{C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

${| x |}^{\frac{1}{2}} | y | = e^{C}$

단계 4.6.2

${| x |}^{\frac{1}{2}} | y | = e^{C}$ 의 각 항을 ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.2.1

${| x |}^{\frac{1}{2}} | y | = e^{C}$ 의 각 항을 ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ 로 나눕니다.

$\frac{{| x |}^{\frac{1}{2}} | y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.6.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{{| x |}^{\frac{1}{2}} | y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.6.2.2.2

$| y |$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$| y | = \frac{e^{C}}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.6.3

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y = \pm \frac{e^{C}}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

단계 5

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \pm \frac{C}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

단계 5.2

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = C \frac{1}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$