미적분 예제

$(x + 1) d y + (2 y + 1 - 2 \cos (x)) d x = 0$

단계 1

완전미분 방정식 해법에 맞도록 미분 방정식을 다시 작성합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

다시 씁니다.

$(2 y + 1 - 2 \cos (x)) d x + (x + 1) d y = 0$

단계 2

$M (x, y) = 2 y + 1 - 2 \cos (x)$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y + 1 - 2 \cos (x)]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $2 y + 1 - 2 \cos (x)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 \cos (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 \cos (x)]$

단계 2.3

$\frac{d}{d y} [2 y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$2$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 y$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 \cos (x)]$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 \cos (x)]$

단계 2.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 \cos (x)]$

단계 2.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.1

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 0 + \frac{d}{d y} [- 2 \cos (x)]$

단계 2.4.2

$- 2 \cos (x)$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 2 \cos (x)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 2 \cos (x)$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 0 + 0$

단계 2.5

항을 묶습니다.

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단계 2.5.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 0$

단계 2.5.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

단계 3

$N (x, y) = x + 1$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 3.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

단계 3.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

단계 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $2$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$2 = 1$

단계 4.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$2 = 1$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 5

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $2$ 를 대입합니다.

$\frac{2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

단계 5.2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$\frac{2 - 1}{N}$

단계 5.3

$N$ 에 $x + 1$ 를 대입합니다.

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단계 5.3.1

$N$ 에 $x + 1$ 를 대입합니다.

$\frac{2 - 1}{x + 1}$

단계 5.3.2

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{x + 1}$

단계 5.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x + 1} d x}$

단계 6

적분 $e^{\int \frac{1}{x + 1} d x}$ 을 구합니다.

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단계 6.1

먼저 $u = x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 6.1.1

$u = x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 6.1.1.1

$x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 6.1.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 6.1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 6.1.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 6.1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 6.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{u} d u}$

단계 6.2

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |) + C}$

단계 6.3

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |)} + C$

단계 6.4

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = | u | + C$

단계 6.5

$u$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$μ (x, y) = | x + 1 | + C$

단계 7

$(2 y + 1 - 2 \cos (x)) d x + (x + 1) d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $x + 1$ 를 곱합니다.

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단계 7.1

$2 y + 1 - 2 \cos (x)$ 에 $x + 1$ 을 곱합니다.

$(2 y + 1 - 2 \cos (x)) (x + 1) d x + (x + 1) d y = 0$

단계 7.2

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(2 y + 1 - 2 \cos (x)) (x + 1)$ 를 전개합니다.

$(2 y x + 2 y \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - 2 \cos (x) x - 2 \cos (x) \cdot 1) d x + (x + 1) d y = 0$

단계 7.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(2 y x + 2 y + 1 x + 1 \cdot 1 - 2 \cos (x) x - 2 \cos (x) \cdot 1) d x + (x + 1) d y = 0$

단계 7.3.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(2 y x + 2 y + x + 1 \cdot 1 - 2 \cos (x) x - 2 \cos (x) \cdot 1) d x + (x + 1) d y = 0$

단계 7.3.3

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 \cos (x) x - 2 \cos (x) \cdot 1) d x + (x + 1) d y = 0$

단계 7.3.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 \cos (x) x - 2 \cos (x)) d x + (x + 1) d y = 0$

단계 7.4

$2 y x + 2 y + x + 1 - 2 \cos (x) x - 2 \cos (x)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x + 1) d y = 0$

단계 7.5

$x + 1$ 에 $x + 1$ 을 곱합니다.

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x + 1) (x + 1) d y = 0$

단계 7.6

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 1) (x + 1)$ 를 전개합니다.

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단계 7.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x (x + 1) + 1 (x + 1)) d y = 0$

단계 7.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) d y = 0$

단계 7.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) d y = 0$

단계 7.7

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 7.7.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.7.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) d y = 0$

단계 7.7.1.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) d y = 0$

단계 7.7.1.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) d y = 0$

단계 7.7.1.4

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x^{2} + x + x + 1) d y = 0$

단계 7.7.2

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x^{2} + 2 x + 1) d y = 0$

단계 8

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int x^{2} + 2 x + 1 d y$

단계 9

$N (x, y) = x^{2} + 2 x + 1$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 9.1

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = (x^{2} + 2 x + 1) y + C$

단계 10

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = (x^{2} + 2 x + 1) y + g (x)$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

단계 12

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

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단계 12.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) y + g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

단계 12.2

합의 법칙에 의해 $(x^{2} + 2 x + 1) y + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

단계 12.3

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 12.3.1

$y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $(x^{2} + 2 x + 1) y$ 의 미분은 $y \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$ 입니다.

$y \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

단계 12.3.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 2 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

단계 12.3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

단계 12.3.4

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$y (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

단계 12.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

단계 12.3.6

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$y (2 x + 2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

단계 12.3.7

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y (2 x + 2 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

단계 12.3.8

$2 x + 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y (2 x + 2) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

단계 12.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$y (2 x + 2) + \frac{d g}{d x} = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

단계 12.5

간단히 합니다.

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단계 12.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y (2 x) + y \cdot 2 + \frac{d g}{d x} = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

단계 12.5.2

항을 묶습니다.

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단계 12.5.2.1

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot y x + y \cdot 2 + \frac{d g}{d x} = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

단계 12.5.2.2

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 y x + 2 y + \frac{d g}{d x} = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

단계 12.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y + 2 y = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

단계 13

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 13.1

$\frac{d g}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 13.1.1

방정식의 양변에서 $2 x y$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} + 2 y = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 x y$

단계 13.1.2

방정식의 양변에서 $2 y$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 x y - 2 y$

단계 13.1.3

$2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 x y - 2 y$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 13.1.3.1

인수가 항 $2 y x$ 과(와) $- 2 x y$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 x y - 2 y$

단계 13.1.3.2

$2 x y$ 에서 $2 x y$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) + 0 - 2 y$

단계 13.1.3.3

$2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 y$

단계 13.1.3.4

$2 y$ 에서 $2 y$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) + 0$

단계 13.1.3.5

$x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

단계 14

$x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

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단계 14.1

$\frac{d g}{d x} = x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) d x$

단계 14.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) d x$

단계 14.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$g (x) = \int x d x + \int d x + \int - 2 x \cos (x) d x + \int - 2 \cos (x) d x$

단계 14.4

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x + \int - 2 x \cos (x) d x + \int - 2 \cos (x) d x$

단계 14.5

상수 규칙을 적용합니다.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \int - 2 x \cos (x) d x + \int - 2 \cos (x) d x$

단계 14.6

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int x \cos (x) d x + \int - 2 \cos (x) d x$

단계 14.7

$u = x$ 이고 $d v = \cos (x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 (x \sin (x) - \int \sin (x) d x) + \int - 2 \cos (x) d x$

단계 14.8

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \cos (x)$ 입니다.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C)) + \int - 2 \cos (x) d x$

단계 14.9

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C)) - 2 \int \cos (x) d x$

단계 14.10

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\sin (x)$ 입니다.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C)) - 2 (\sin (x) + C)$

단계 14.11

간단히 합니다.

$g (x) = \frac{x^{2}}{2} + x - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) + C$

단계 14.12

항을 다시 정렬합니다.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) + C$

단계 15

$f (x, y) = (x^{2} + 2 x + 1) y + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = (x^{2} + 2 x + 1) y + \frac{1}{2} x^{2} + x - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) + C$

단계 16

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x, y) = x^{2} y + 2 x y + 1 y + \frac{1}{2} x^{2} + x - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) + C$

단계 16.2

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = x^{2} y + 2 x y + y + \frac{1}{2} x^{2} + x - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) + C$

단계 16.3

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = x^{2} y + 2 x y + y + \frac{x^{2}}{2} + x - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) + C$