미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{y - 2}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $y - 2$ 을 곱합니다.

$(y - 2) \frac{d y}{d x} = (y - 2) \frac{6 x}{y - 2}$

단계 1.2

$y - 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$(y - 2) \frac{d y}{d x} = (y - 2) \frac{6 x}{y - 2}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$(y - 2) \frac{d y}{d x} = 6 x$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$(y - 2) d y = 6 x d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y - 2 d y = \int 6 x d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int y d y + \int - 2 d y = \int 6 x d x$

단계 2.2.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 2 d y = \int 6 x d x$

단계 2.2.3

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 2 y + C_{2} = \int 6 x d x$

단계 2.2.4

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \int 6 x d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = 6 \int x d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

단계 2.3.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ 을 $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.1

$6$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{6}{2} x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.3.2.2

$6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{3}{1} x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.3.2.2.2.4

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 x^{2} + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y = 3 x^{2} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y = 3 x^{2} + K$

단계 3.2

모든 수식을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

방정식의 양변에서 $3 x^{2}$ 를 뺍니다.

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y - 3 x^{2} = K$

단계 3.2.2

방정식의 양변에서 $K$ 를 뺍니다.

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y - 3 x^{2} - K = 0$

단계 3.3

식 전체에 최소공분모 $2$ 을 곱한 다음 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 2 y) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

단계 3.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 2 y) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

단계 3.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} + 2 (- 2 y) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

단계 3.3.2.2

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y^{2} - 4 y + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

단계 3.3.2.3

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y^{2} - 4 y - 6 x^{2} + 2 (- K) = 0$

단계 3.3.2.4

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y^{2} - 4 y - 6 x^{2} - 2 K = 0$

단계 3.3.3

$- 4 y$ 를 옮깁니다.

$y^{2} - 6 x^{2} - 2 K - 4 y = 0$

단계 3.3.4

$y^{2}$ 와 $- 6 x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$- 6 x^{2} + y^{2} - 2 K - 4 y = 0$

단계 3.4

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 3.5

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = - 4$ , $c = - 6 x^{2} - 2 K$ 을 대입하여 $y$ 를 구합니다.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

단계 3.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.1

${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K)$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.1.1

${(- 4)}^{2}$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.6.1.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K)$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

단계 3.6.1.1.3

$- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K))$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

단계 3.6.1.2

$- 6 x^{2} - 2 K$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 6 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.6.1.3

$- 4 - 6 x^{2} - 2 K$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.3.1

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2) - 6 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.6.1.3.2

$- 6 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2) + 2 (- 3 x^{2}) - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.6.1.3.3

$- 2 K$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (- K))}}{2 \cdot 1}$

단계 3.6.1.3.4

$2 (- 2) + 2 (- 3 x^{2})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2 - 3 x^{2}) + 2 (- K))}}{2 \cdot 1}$

단계 3.6.1.3.5

$2 (- 2 - 3 x^{2}) + 2 (- K)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2 - 3 x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (2 (- 2 - 3 x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

단계 3.6.1.4

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 8 (- 2 - 3 x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.6.1.5

$- 8 (- 2 - 3 x^{2} - K)$ 을 $2^{2} \cdot (- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.5.1

$- 8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 2) (- 2 - 3 x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.6.1.5.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

단계 3.6.1.5.3

괄호를 표시합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

단계 3.6.1.6

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.6.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}}{2}$

단계 3.6.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$y = 2 \pm \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}$

단계 3.7

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$y = 2 + \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}$

$y = 2 + \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = 2 + \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} + K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} + K)}$