미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 y - 2}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $2 y - 2$ 을 곱합니다.

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = (2 y - 2) \frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 y - 2}$

단계 1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$2 y - 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

$2 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = (2 y - 2) \frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 (y) - 2}$

단계 1.2.1.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = (2 y - 2) \frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 (y) + 2 (- 1)}$

단계 1.2.1.3

$2 (y) + 2 (- 1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = (2 y - 2) \frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 (y - 1)}$

단계 1.2.2

$2 y - 2$ 에 $\frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 (y - 1)}$ 을 곱합니다.

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = \frac{(2 y - 2) (3 x^{2} + 4 x + 2)}{2 (y - 1)}$

단계 1.2.3

$2 y - 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$(2 y - 2) (3 x^{2} + 4 x + 2)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((y - 1) (3 x^{2} + 4 x + 2))}{2 (y - 1)}$

단계 1.2.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((y - 1) (3 x^{2} + 4 x + 2))}{2 (y - 1)}$

단계 1.2.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 1) (3 x^{2} + 4 x + 2)}{y - 1}$

단계 1.2.4

$y - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 1) (3 x^{2} + 4 x + 2)}{y - 1}$

단계 1.2.4.2

$3 x^{2} + 4 x + 2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 4 x + 2$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$(2 y - 2) d y = (3 x^{2} + 4 x + 2) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int 2 y - 2 d y = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int 2 y d y + \int - 2 d y = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

단계 2.2.2

$2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int y d y + \int - 2 d y = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

단계 2.2.3

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 2 d y = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

단계 2.2.4

상수 규칙을 적용합니다.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

단계 2.2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

단계 2.2.5.2

간단히 합니다.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int 4 x d x + \int 2 d x$

단계 2.3.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 \int x^{2} d x + \int 4 x d x + \int 2 d x$

단계 2.3.3

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int 4 x d x + \int 2 d x$

단계 2.3.4

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 \int x d x + \int 2 d x$

단계 2.3.5

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \int 2 d x$

단계 2.3.6

상수 규칙을 적용합니다.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + 2 x + C_{6}$

단계 2.3.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + 2 x + C_{6}$

단계 2.3.7.1.2

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{5}) + 2 x + C_{6}$

단계 2.3.7.2

간단히 합니다.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + C_{7}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y^{2} - 2 y = x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

모든 수식을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

방정식의 양변에서 $x^{3}$ 를 뺍니다.

$y^{2} - 2 y - x^{3} = 2 x^{2} + 2 x + K$

단계 3.1.2

방정식의 양변에서 $2 x^{2}$ 를 뺍니다.

$y^{2} - 2 y - x^{3} - 2 x^{2} = 2 x + K$

단계 3.1.3

방정식의 양변에서 $2 x$ 를 뺍니다.

$y^{2} - 2 y - x^{3} - 2 x^{2} - 2 x = K$

단계 3.1.4

방정식의 양변에서 $K$ 를 뺍니다.

$y^{2} - 2 y - x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - K = 0$

단계 3.2

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 3.3

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = - 2$ , $c = - x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - K$ 을 대입하여 $y$ 를 구합니다.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - K))}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - K)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - K)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 (- x^{3}) - 4 (- 2 x^{2}) - 4 (- 2 x) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.4.1

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{3} - 4 (- 2 x^{2}) - 4 (- 2 x) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.4.2

$- 2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 4 (- 2 x) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.4.3

$- 2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.4.4

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.5

$4 + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4 K$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.5.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.5.2

$4 x^{3}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 (x^{3}) + 8 x^{2} + 8 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.5.3

$8 x^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 (x^{3}) + 4 (2 x^{2}) + 8 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.5.4

$8 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 (x^{3}) + 4 (2 x^{2}) + 4 (2 x) + 4 K}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.5.5

$4 \cdot 1 + 4 (x^{3})$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{3}) + 4 (2 x^{2}) + 4 (2 x) + 4 K}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.5.6

$4 \cdot (1 + x^{3}) + 4 (2 x^{2})$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{3} + 2 x^{2}) + 4 (2 x) + 4 K}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.5.7

$4 \cdot (1 + x^{3} + 2 x^{2}) + 4 (2 x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) + 4 K}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.5.8

$4 \cdot (1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) + 4 K$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.6

$4 (1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K)$ 을 $2^{2} (1^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.6.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.6.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.7

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.8

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}}{2}$

단계 3.4.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}$

단계 3.5

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$y = 1 + \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}$

$y = 1 + \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}$