미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 20 x^{3} + 77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

단계 1

$\frac{y}{x}$ 의 함수로 미분 방정식을 다시 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{- 20 x^{3} + 77 y^{3}}{77 x y^{2}}$ 를 나누어 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분수 $\frac{- 20 x^{3} + 77 y^{3}}{77 x y^{2}}$ 를 두 개의 분수로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 20 x^{3}}{77 x y^{2}} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

단계 1.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$x^{3}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

$- 20 x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 20 x^{2})}{77 x y^{2}} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

단계 1.1.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.2.1

$77 x y^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 20 x^{2})}{x (77 y^{2})} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

단계 1.1.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 20 x^{2})}{x (77 y^{2})} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

단계 1.1.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

단계 1.1.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

단계 1.1.2.3

$77$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

단계 1.1.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{y^{3}}{x y^{2}}$

단계 1.1.2.4

$y^{3}$ 및 $y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.4.1

$y^{3}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{y^{2} y}{x y^{2}}$

단계 1.1.2.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.4.2.1

$x y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{y^{2} y}{y^{2} x}$

단계 1.1.2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{y^{2} y}{y^{2} x}$

단계 1.1.2.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{y}{x}$

단계 1.2

$f (\frac{y}{x})$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$\frac{20 x^{2}}{77 y^{2}}$ 의 $\frac{x}{y}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

$\frac{20 x^{2}}{77 y^{2}}$ 에서 $\frac{x}{y}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x}{y} \cdot \frac{20 x}{77 y}) + \frac{y}{x}$

단계 1.2.1.2

$\frac{x}{y}$ 와 $\frac{20 x}{77 y}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{20 x}{77 y} \cdot \frac{x}{y}) + \frac{y}{x}$

단계 1.2.2

$\frac{x}{y}$ 을 ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{20 x}{77 y} {(\frac{y}{x})}^{- 1}) + \frac{y}{x}$

단계 1.3

$f (\frac{y}{x})$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$\frac{20 x}{77 y}$ 의 $\frac{x}{y}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

$\frac{20 x}{77 y}$ 에서 $\frac{x}{y}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x}{y} \cdot \frac{20}{77} {(\frac{y}{x})}^{- 1}) + \frac{y}{x}$

단계 1.3.1.2

$\frac{x}{y}$ 와 $\frac{20}{77}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{20}{77} \cdot \frac{x}{y} {(\frac{y}{x})}^{- 1}) + \frac{y}{x}$

단계 1.3.2

$\frac{x}{y}$ 을 ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{20}{77} {(\frac{y}{x})}^{- 1} {(\frac{y}{x})}^{- 1}) + \frac{y}{x}$

단계 2

$V = \frac{y}{x}$ 라고 두고, $V$ 를 $\frac{y}{x}$ 에 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{20}{77} V^{- 1} V^{- 1}) + V$

단계 3

$V = \frac{y}{x}$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

$y = V x$

단계 4

곱의 미분 법칙을 사용해 $x$ 에 대하여 $y = V x$ 의 도함수를 구합니다.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

단계 5

$\frac{d y}{d x}$ 에 $x \frac{d V}{d x} + V$ 를 대입합니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = - (\frac{20}{77} V^{- 1} V^{- 1}) + V$

단계 6

치환 미분 방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1.1

지수를 더하여 $V^{- 1}$ 에 $V^{- 1}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1.1.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = - (\frac{20}{77} \cdot V^{- 1 - 1}) + V$

단계 6.1.1.1.1.2

$- 1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = - (\frac{20}{77} \cdot V^{- 2}) + V$

단계 6.1.1.1.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = - (\frac{20}{77} \cdot \frac{1}{V^{2}}) + V$

단계 6.1.1.1.3

조합합니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = - \frac{20 \cdot 1}{77 V^{2}} + V$

단계 6.1.1.1.4

$20$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = - \frac{20}{77 V^{2}} + V$

단계 6.1.1.2

$\frac{d V}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.1

방정식의 양변에서 $V$ 를 뺍니다.

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 V^{2}} + V - V$

단계 6.1.1.2.2

$- \frac{20}{77 V^{2}} + V - V$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.2.1

$V$ 에서 $V$ 을 뺍니다.

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 V^{2}} + 0$

단계 6.1.1.2.2.2

$- \frac{20}{77 V^{2}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 V^{2}}$

단계 6.1.1.3

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 V^{2}}$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.1

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 V^{2}}$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{20}{77 V^{2}}}{x}$

단계 6.1.1.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{20}{77 V^{2}}}{x}$

단계 6.1.1.3.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{20}{77 V^{2}}}{x}$

단계 6.1.1.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 V^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

단계 6.1.1.3.3.2

$\frac{1}{x}$ 에 $\frac{20}{77 V^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{20}{x (77 V^{2})}$

단계 6.1.1.3.3.3

$x$ 의 왼쪽으로 $77$ 이동하기

$\frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 x V^{2}}$

단계 6.1.2

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 x} \cdot \frac{1}{V^{2}}$

단계 6.1.3

양변에 $V^{2}$ 을 곱합니다.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} (- \frac{20}{77 x} \cdot \frac{1}{V^{2}})$

단계 6.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.4.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - V^{2} (\frac{20}{77 x} \cdot \frac{1}{V^{2}})$

단계 6.1.4.2

조합합니다.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - V^{2} \frac{20 \cdot 1}{77 x V^{2}}$

단계 6.1.4.3

$V^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.4.3.1

$- V^{2}$ 에서 $V^{2}$ 를 인수분해합니다.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{20 \cdot 1}{77 x V^{2}}$

단계 6.1.4.3.2

$77 x V^{2}$ 에서 $V^{2}$ 를 인수분해합니다.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{20 \cdot 1}{V^{2} (77 x)}$

단계 6.1.4.3.3

공약수로 약분합니다.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{20 \cdot 1}{V^{2} (77 x)}$

단계 6.1.4.3.4

수식을 다시 씁니다.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - \frac{20 \cdot 1}{77 x}$

단계 6.1.4.4

$20$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 x}$

단계 6.1.5

식을 다시 씁니다.

$V^{2} d V = - \frac{20}{77 x} d x$

단계 6.2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int V^{2} d V = \int - \frac{20}{77 x} d x$

단계 6.2.2

멱의 법칙에 의해 $V^{2}$ 를 $V$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} V^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = \int - \frac{20}{77 x} d x$

단계 6.2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - \int \frac{20}{77 x} d x$

단계 6.2.3.2

$\frac{20}{77}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{20}{77}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - (\frac{20}{77} \int \frac{1}{x} d x)$

단계 6.2.3.3

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - \frac{20}{77} (\ln (| x |) + C_{2})$

단계 6.2.3.4

간단히 합니다.

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - \frac{20}{77} \ln (| x |) + C_{2}$

단계 6.2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{3} V^{3} = - \frac{20}{77} \ln (| x |) + C$

단계 6.3

$V$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

방정식의 양변에 $3$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{1}{3} V^{3}) = 3 (- \frac{20}{77} \ln (| x |) + C)$

단계 6.3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} V^{3})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ 와 $V^{3}$ 을 묶습니다.

$3 \frac{V^{3}}{3} = 3 (- \frac{20}{77} \ln (| x |) + C)$

단계 6.3.2.1.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$3 \frac{V^{3}}{3} = 3 (- \frac{20}{77} \ln (| x |) + C)$

단계 6.3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$V^{3} = 3 (- \frac{20}{77} \ln (| x |) + C)$

단계 6.3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.2.1

$3 (- \frac{20}{77} \ln (| x |) + C)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.2.1.1.1

$\ln (| x |)$ 와 $\frac{20}{77}$ 을 묶습니다.

$V^{3} = 3 (- \frac{\ln (| x |) \cdot 20}{77} + C)$

단계 6.3.2.2.1.1.2

$\ln (| x |)$ 의 왼쪽으로 $20$ 이동하기

$V^{3} = 3 (- \frac{20 \ln (| x |)}{77} + C)$

단계 6.3.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$V^{3} = 3 (- \frac{20 \ln (| x |)}{77}) + 3 C$

단계 6.3.2.2.1.3

$3 (- \frac{20 \ln (| x |)}{77})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.2.1.3.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$V^{3} = - 3 \frac{20 \ln (| x |)}{77} + 3 C$

단계 6.3.2.2.1.3.2

$- 3$ 와 $\frac{20 \ln (| x |)}{77}$ 을 묶습니다.

$V^{3} = \frac{- 3 (20 \ln (| x |))}{77} + 3 C$

단계 6.3.2.2.1.3.3

$20$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$V^{3} = \frac{- 60 \ln (| x |)}{77} + 3 C$

단계 6.3.2.2.1.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$V^{3} = - \frac{60 \ln (| x |)}{77} + 3 C$

단계 6.3.3

$60$ 를 로그 안으로 옮겨 $60 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

$V^{3} = - \frac{\ln ({| x |}^{60})}{77} + 3 C$

단계 6.3.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$V = \sqrt[3]{- \frac{\ln ({| x |}^{60})}{77} + 3 C}$

단계 6.3.5

$\sqrt[3]{- \frac{\ln ({| x |}^{60})}{77} + 3 C}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.5.1

$\frac{\ln ({| x |}^{60})}{77}$ 을 $\frac{1}{77} \ln ({| x |}^{60})$ 로 바꿔 씁니다.

$V = \sqrt[3]{- (\frac{1}{77} \ln ({| x |}^{60})) + 3 C}$

단계 6.3.5.2

$\frac{1}{77}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{77} \ln ({| x |}^{60})$ 을 간단히 합니다.

$V = \sqrt[3]{- \ln ({({| x |}^{60})}^{\frac{1}{77}}) + 3 C}$

단계 6.3.5.3

${({| x |}^{60})}^{\frac{1}{77}}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.5.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$V = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{60 (\frac{1}{77})}) + 3 C}$

단계 6.3.5.3.2

$60$ 와 $\frac{1}{77}$ 을 묶습니다.

$V = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + 3 C}$

단계 6.4

적분 상수를 간단히 합니다.

$V = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + C}$

단계 7

$V$ 에 $\frac{y}{x}$ 를 대입합니다.

$\frac{y}{x} = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + C}$

단계 8

$\frac{y}{x} = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + C}$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

양변에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{x} x = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + C} x$

단계 8.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{x} x = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + C} x$

단계 8.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + C} x$