미적분 예제

$x^{2} \frac{d y}{d x} - y \sqrt{x} = 0$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{d y}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

방정식의 양변에 $y \sqrt{x}$ 를 더합니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{x}$

단계 1.1.2

$x^{2} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{x}$ 의 각 항을 $x^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$x^{2} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{x}$ 의 각 항을 $x^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y \sqrt{x}}{x^{2}}$

단계 1.1.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y \sqrt{x}}{x^{2}}$

단계 1.1.2.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{x^{2}}$

단계 1.2

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

단계 1.3

양변에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{\sqrt{x}}{x^{2}})$

단계 1.4

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{\sqrt{x}}{x^{2}})$

단계 1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

단계 1.5

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

단계 2.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sqrt{x} {(x^{2})}^{- 1} d x$

단계 2.3.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.2.1

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sqrt{x} x^{2 \cdot - 1} d x$

단계 2.3.1.2.1.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sqrt{x} x^{- 2} d x$

단계 2.3.1.2.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} x^{- 2} d x$

단계 2.3.1.2.3

지수를 더하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 에 $x^{- 2}$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.1.2.3.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} - 2} d x$

단계 2.3.1.2.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}} d x$

단계 2.3.1.2.3.3

$- 2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}} d x$

단계 2.3.1.2.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1 - 2 \cdot 2}{2}} d x$

단계 2.3.1.2.3.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.2.3.5.1

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1 - 4}{2}} d x$

단계 2.3.1.2.3.5.2

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

단계 2.3.1.2.3.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x^{- \frac{3}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C_{2}$ 을 $- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

단계 2.3.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

단계 2.3.3.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y |) = - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$

단계 3.2

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| y |) = - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C} = | y |$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$| y | = e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| y | = e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$

단계 3.3.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y = \pm e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$

단계 4

상수 항을 하나로 묶습니다.

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단계 4.1

$e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$ 을 $e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}} e^{C}$

단계 4.2

$e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$

단계 4.3

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = C e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$