미적분 예제

$\frac{d y}{d t} = y \sin^{3} (t)$ , $y (0) = 1$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y \sin^{3} (t))$

단계 1.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$y \sin^{3} (t)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y (\sin^{3} (t)))$

단계 1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y \sin^{3} (t))$

단계 1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \sin^{3} (t)$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = \sin^{3} (t) d t$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \sin^{3} (t) d t$

단계 2.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sin^{3} (t) d t$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$\sin^{2} (t)$ 로 인수분해합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

단계 2.3.2

피타고라스 항등식을 이용하여 $\sin^{2} (t)$ 를 $1 - \cos^{2} (t)$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

단계 2.3.3

먼저 $u = \cos (t)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \sin (t) d t$ 이므로 $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$u = \cos (t)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1.1

$\cos (t)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

단계 2.3.3.1.2

$\cos (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- \sin (t)$ 입니다.

$- \sin (t)$

단계 2.3.3.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 1 + u^{2} d u$

단계 2.3.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 1 d u + \int u^{2} d u$

단계 2.3.5

상수 규칙을 적용합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - u + C_{2} + \int u^{2} d u$

단계 2.3.6

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - u + C_{2} + \frac{1}{3} u^{3} + C_{3}$

단계 2.3.7

간단히 합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - u + \frac{1}{3} u^{3} + C_{4}$

단계 2.3.8

$u$ 를 모두 $\cos (t)$ 로 바꿉니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \cos (t) + \frac{1}{3} \cos^{3} (t) + C_{4}$

단계 2.3.9

항을 다시 정렬합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C}$

단계 3.2

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| y |) = \frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{\frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C} = | y |$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$| y | = e^{\frac{1}{3} \cdot \cos^{3} (t) - \cos (t) + C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| y | = e^{\frac{1}{3} \cdot \cos^{3} (t) - \cos (t) + C}$

단계 3.3.2

$\frac{1}{3}$ 와 $\cos^{3} (t)$ 을 묶습니다.

$| y | = e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t) + C}$

단계 3.3.3

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y = \pm e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t) + C}$

단계 4

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t) + C}$ 을 $e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)} e^{C}$

단계 4.2

$e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \pm e^{C} e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$

단계 4.3

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = C e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$

단계 5

초기 조건을 활용하여 $y = C e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$ 에서 $t$ 에 $0$ 을, $y$ 에 $1$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$1 = C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - \cos (0)}$

단계 6

$C$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - \cos (0)} = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - \cos (0)} = 1$

단계 6.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - 1 \cdot 1} = 1$

단계 6.2.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - 1} = 1$

단계 6.2.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$C e^{\frac{1^{3}}{3} - 1} = 1$

단계 6.2.3.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$C e^{\frac{1}{3} - 1} = 1$

단계 6.2.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$C e^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} = 1$

단계 6.2.5

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$C e^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} = 1$

단계 6.2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$C e^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} = 1$

단계 6.2.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.7.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$C e^{\frac{1 - 3}{3}} = 1$

단계 6.2.7.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$C e^{\frac{- 2}{3}} = 1$

단계 6.3

$C e^{\frac{- 2}{3}} = 1$ 의 각 항을 $e^{- \frac{2}{3}}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$C e^{\frac{- 2}{3}} = 1$ 의 각 항을 $e^{- \frac{2}{3}}$ 로 나눕니다.

$\frac{C e^{\frac{- 2}{3}}}{e^{- \frac{2}{3}}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

단계 6.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

$C e^{\frac{- 2}{3}}$ 에서 $e^{- \frac{2}{3}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{- \frac{2}{3}} (C e^{\frac{0}{3}})}{e^{- \frac{2}{3}}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

단계 6.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{- \frac{2}{3}} (C e^{\frac{0}{3}})}{e^{- \frac{2}{3}} \cdot 1} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

단계 6.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{- \frac{2}{3}} (C e^{\frac{0}{3}})}{e^{- \frac{2}{3}} \cdot 1} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

단계 6.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{C e^{\frac{0}{3}}}{1} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

단계 6.3.2.2.4

$C e^{\frac{0}{3}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$C e^{\frac{0}{3}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

단계 6.3.2.3

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.3.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$C e^{\frac{3 (0)}{3}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

단계 6.3.2.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.3.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$C e^{\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

단계 6.3.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$C e^{\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

단계 6.3.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$C e^{\frac{0}{1}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

단계 6.3.2.3.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$C e^{0} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

단계 6.3.2.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.4.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$C \cdot 1 = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

단계 6.3.2.4.2

$C$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$C = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

단계 6.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.1

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ 을 활용하여 $e^{- \frac{2}{3}}$ 를 분자로 이동합니다.

$C = e^{\frac{2}{3}}$

단계 7

$y = C e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$ 의 $C$ 에 $e^{\frac{2}{3}}$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$C$ 에 $e^{\frac{2}{3}}$ 를 대입합니다.

$y = e^{\frac{2}{3}} e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$

단계 7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = e^{\frac{2}{3} + \frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$