미적분 예제

$x (y d) y + (y^{2} - 1) d x = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $(y^{2} - 1) d x$ 를 뺍니다.

$x y d y = - (y^{2} - 1) d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{x (y^{2} - 1)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x (y^{2} - 1)} (x y) d y = \frac{1}{x (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1)) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x (y^{2} - 1)} (x (y)) d y = \frac{1}{x (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1)) d x$

단계 3.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{x (y^{2} - 1)} (x y) d y = \frac{1}{x (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1)) d x$

단계 3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2} - 1} y d y = \frac{1}{x (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1)) d x$

단계 3.2

$\frac{1}{y^{2} - 1}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{y}{y^{2} - 1} d y = \frac{1}{x (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1)) d x$

단계 3.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{y}{y^{2} - 1^{2}} d y = \frac{1}{x (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1)) d x$

단계 3.3.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = y$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{x (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1)) d x$

단계 3.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = - \frac{1}{x (y^{2} - 1)} (y^{2} - 1) d x$

단계 3.5

$y^{2} - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$- \frac{1}{x (y^{2} - 1)}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{x (y^{2} - 1)} (y^{2} - 1) d x$

단계 3.5.2

$x (y^{2} - 1)$ 에서 $y^{2} - 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(y^{2} - 1) x} (y^{2} - 1) d x$

단계 3.5.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(y^{2} - 1) x} (y^{2} - 1) d x$

단계 3.5.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{x} d x$

단계 3.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = - \frac{1}{x} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

먼저 $u = (y + 1) (y - 1)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 y d y$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = y d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$u = (y + 1) (y - 1)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1.1

$(y + 1) (y - 1)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [(y + 1) (y - 1)]$

단계 4.2.1.1.2

$f (y) = y + 1$ , $g (y) = y - 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

단계 4.2.1.1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1.3.1

합의 법칙에 의해 $y - 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ 가 됩니다.

$(y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

단계 4.2.1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

단계 4.2.1.1.3.3

$- 1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$(y + 1) (1 + 0) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

단계 4.2.1.1.3.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1.3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(y + 1) \cdot 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

단계 4.2.1.1.3.4.2

$y + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

단계 4.2.1.1.3.5

합의 법칙에 의해 $y + 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ 가 됩니다.

$y + 1 + (y - 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

단계 4.2.1.1.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y + 1 + (y - 1) (1 + \frac{d}{d y} [1])$

단계 4.2.1.1.3.7

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$y + 1 + (y - 1) (1 + 0)$

단계 4.2.1.1.3.8

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1.3.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y + 1 + (y - 1) \cdot 1$

단계 4.2.1.1.3.8.2

$y - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + 1 + y - 1$

단계 4.2.1.1.3.8.3

$y$ 를 $y$ 에 더합니다.

$2 y + 1 - 1$

단계 4.2.1.1.3.8.4

숫자를 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1.3.8.4.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$2 y + 0$

단계 4.2.1.1.3.8.4.2

$2 y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 y$

단계 4.2.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 4.2.2.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 4.2.3

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 4.2.4

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 4.2.5

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 4.2.6

$u$ 를 모두 $(y + 1) (y - 1)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

단계 4.3.2

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

단계 4.3.3

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) = - \ln (| x |) + C$

단계 5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |)) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

단계 5.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |))$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(y + 1) (y - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y (y - 1) + 1 (y - 1) |)) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

단계 5.2.1.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1) |)) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

단계 5.2.1.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

단계 5.2.1.1.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.2.1.1

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

단계 5.2.1.1.2.1.2

$y$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

단계 5.2.1.1.2.1.3

$- 1 y$ 을 $- y$ 로 바꿔 씁니다.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

단계 5.2.1.1.2.1.4

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

단계 5.2.1.1.2.1.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y - 1 |)) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

단계 5.2.1.1.2.2

$- y$ 를 $y$ 에 더합니다.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 0 - 1 |)) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

단계 5.2.1.1.2.3

$y^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 |)) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

단계 5.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $\ln (| y^{2} - 1 |)$ 을 묶습니다.

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = 2 (- \ln (| x |) + C)$

단계 5.2.1.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = 2 (- \ln (| x |) + C)$

단계 5.2.1.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

단계 5.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$2 (- \ln (| x |) + C)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \ln (| x |)) + 2 C$

단계 5.2.2.1.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - 2 \ln (| x |) + 2 C$

단계 5.3

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| y^{2} - 1 |) + 2 \ln (| x |) = 2 C$

단계 5.4

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$\ln (| y^{2} - 1 |) + 2 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1.1.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

$\ln (| y^{2} - 1 |) + \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

단계 5.4.1.1.2

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| x |}^{2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$\ln (| y^{2} - 1 |) + \ln (x^{2}) = 2 C$

단계 5.4.1.2

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\ln (| y^{2} - 1 | x^{2}) = 2 C$

단계 5.4.1.3

$\ln (| y^{2} - 1 | x^{2})$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\ln (x^{2} | y^{2} - 1 |) = 2 C$

단계 5.5

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (x^{2} | y^{2} - 1 |)} = e^{2 C}$

단계 5.6

로그의 정의를 이용하여 $\ln (x^{2} | y^{2} - 1 |) = 2 C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{2 C} = x^{2} | y^{2} - 1 |$

단계 5.7

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.1

$x^{2} | y^{2} - 1 | = e^{2 C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x^{2} | y^{2} - 1 | = e^{2 C}$

단계 5.7.2

$x^{2} | y^{2} - 1 | = e^{2 C}$ 의 각 항을 $x^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.2.1

$x^{2} | y^{2} - 1 | = e^{2 C}$ 의 각 항을 $x^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{x^{2} | y^{2} - 1 |}{x^{2}} = \frac{e^{2 C}}{x^{2}}$

단계 5.7.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.2.2.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} | y^{2} - 1 |}{x^{2}} = \frac{e^{2 C}}{x^{2}}$

단계 5.7.2.2.1.2

$| y^{2} - 1 |$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$| y^{2} - 1 | = \frac{e^{2 C}}{x^{2}}$

단계 5.7.3

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y^{2} - 1 = \pm \frac{e^{2 C}}{x^{2}}$

단계 5.7.4

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$y^{2} = \pm \frac{e^{2 C}}{x^{2}} + 1$

단계 5.7.5

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{2 C}}{x^{2}} + 1}$

단계 6

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{C}{x^{2}} + 1}$

단계 6.2

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = \pm \sqrt{C \frac{1}{x^{2}} + 1}$