미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{1 + x^{2}}$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = \sqrt{1 + x^{2}} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int \sqrt{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int \sqrt{1 + x^{2}} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = \tan (t)$ 라고 하면 $d x = \sec^{2} (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $\sec^{2} (t)$ 는 양수입니다.

$y + C_{1} = \int \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

단계 2.3.2

$\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

항을 다시 배열합니다.

$y + C_{1} = \int \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \sec^{2} (t) d t$

단계 2.3.2.2

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$y + C_{1} = \int \sqrt{\sec^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

단계 2.3.2.3

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

단계 2.3.3

지수를 더하여 $\sec (t)$ 에 $\sec^{2} (t)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$\sec (t)$ 에 $\sec^{2} (t)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1.1

$\sec (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$y + C_{1} = \int \sec^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

단계 2.3.3.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y + C_{1} = \int {\sec (t)}^{1 + 2} d t$

단계 2.3.3.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$y + C_{1} = \int \sec^{3} (t) d t$

단계 2.3.4

$\sec^{3} (t)$ 에서 $\sec (t)$ 를 인수분해합니다.

$y + C_{1} = \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

단계 2.3.5

$u = \sec (t)$ 이고 $d v = \sec^{2} (t)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.3.6

$\tan (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

단계 2.3.7

$\tan (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

단계 2.3.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

단계 2.3.9

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.9.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

단계 2.3.9.2

$\tan^{2} (t)$ 와 $\sec (t)$ 을 다시 정렬합니다.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

단계 2.3.10

피타고라스 항등식을 이용하여 $\tan^{2} (t)$ 를 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 로 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

단계 2.3.11

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.11.1

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t$

단계 2.3.11.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

단계 2.3.11.3

$\sec (t)$ 와 $- 1$ 을 다시 정렬합니다.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

단계 2.3.12

$\sec (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t$

단계 2.3.13

$\sec (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t$

단계 2.3.14

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

단계 2.3.15

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t$

단계 2.3.16

$\sec (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

단계 2.3.17

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

단계 2.3.18

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

단계 2.3.19

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

단계 2.3.20

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

단계 2.3.21

$\sec (t)$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 입니다.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}) + \int \sec^{3} (t) d t)$

단계 2.3.22

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.22.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}) - \int \sec^{3} (t) d t$

단계 2.3.22.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}) - \int \sec^{3} (t) d t$

단계 2.3.23

$\int \sec^{3} (t) d t$ 을 풀면 $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2})}{2}$ 입니다.

$y + C_{1} = \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2})}{2} + C_{3}$

단계 2.3.24

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}}{2} + C_{3}$

단계 2.3.25

간단히 합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C_{4}$

단계 2.3.26

$t$ 를 모두 $\arctan (x)$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\sec (\arctan (x)) \tan (\arctan (x)) + \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |)) + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$y = \frac{1}{2} (\sec (\arctan (x)) \tan (\arctan (x)) + \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |)) + C$