미적분 예제

$y'''' = 2 t e^{- 6 y} - e^{- 6 y}$ , $y (0) = 2$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$2 t e^{- 6 y} - e^{- 6 y}$ 에서 $e^{- 6 y}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$2 t e^{- 6 y}$ 에서 $e^{- 6 y}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d t} = e^{- 6 y} (2 t) - e^{- 6 y}$

단계 1.1.2

$- e^{- 6 y}$ 에서 $e^{- 6 y}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d t} = e^{- 6 y} (2 t) + e^{- 6 y} \cdot - 1$

단계 1.1.3

$e^{- 6 y} (2 t) + e^{- 6 y} \cdot - 1$ 에서 $e^{- 6 y}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d t} = e^{- 6 y} (2 t - 1)$

단계 1.2

양변에 $\frac{1}{e^{- 6 y}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e^{- 6 y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- 6 y}} (e^{- 6 y} (2 t - 1))$

단계 1.3

$e^{- 6 y}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{e^{- 6 y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- 6 y}} (e^{- 6 y} (2 t - 1))$

단계 1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{e^{- 6 y}} \frac{d y}{d t} = 2 t - 1$

단계 1.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{e^{- 6 y}} d y = (2 t - 1) d t$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{e^{- 6 y}} d y = \int 2 t - 1 d t$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$e^{- 6 y}$ 의 지수의 부호를 반대로 바꾸고 분모 밖으로 빼냅니다.

$\int 1 {(e^{- 6 y})}^{- 1} d y = \int 2 t - 1 d t$

단계 2.2.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.1

${(e^{- 6 y})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int 1 e^{- 6 y \cdot - 1} d y = \int 2 t - 1 d t$

단계 2.2.1.2.1.2

$- 1$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$\int 1 e^{6 y} d y = \int 2 t - 1 d t$

단계 2.2.1.2.2

$e^{6 y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int e^{6 y} d y = \int 2 t - 1 d t$

단계 2.2.2

먼저 $u = 6 y$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 6 d y$ 이므로 $\frac{1}{6} d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$u = 6 y$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

$6 y$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [6 y]$

단계 2.2.2.1.2

$6$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $6 y$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.2.2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 \cdot 1$

단계 2.2.2.1.4

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6$

단계 2.2.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int e^{u} \frac{1}{6} d u = \int 2 t - 1 d t$

단계 2.2.3

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{6}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{e^{u}}{6} d u = \int 2 t - 1 d t$

단계 2.2.4

$\frac{1}{6}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{6}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{6} \int e^{u} d u = \int 2 t - 1 d t$

단계 2.2.5

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$\frac{1}{6} (e^{u} + C_{1}) = \int 2 t - 1 d t$

단계 2.2.6

간단히 합니다.

$\frac{1}{6} e^{u} + C_{1} = \int 2 t - 1 d t$

단계 2.2.7

$u$ 를 모두 $6 y$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = \int 2 t - 1 d t$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = \int 2 t d t + \int - 1 d t$

단계 2.3.2

$2$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 \int t d t + \int - 1 d t$

단계 2.3.3

멱의 법칙에 의해 $t$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} t^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int - 1 d t$

단계 2.3.4

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - t + C_{3}$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ 와 $t^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - t + C_{3}$

단계 2.3.5.2

간단히 합니다.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = t^{2} - t + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{6} e^{6 y} = t^{2} - t + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $6$ 을 곱합니다.

$6 (\frac{1}{6} e^{6 y}) = 6 (t^{2} - t + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$6 (\frac{1}{6} e^{6 y})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{6}$ 와 $e^{6 y}$ 을 묶습니다.

$6 \frac{e^{6 y}}{6} = 6 (t^{2} - t + K)$

단계 3.2.1.1.2

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$6 \frac{e^{6 y}}{6} = 6 (t^{2} - t + K)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{6 y} = 6 (t^{2} - t + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$6 (t^{2} - t + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{6 y} = 6 t^{2} + 6 (- t) + 6 K$

단계 3.2.2.1.2

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$e^{6 y} = 6 t^{2} - 6 t + 6 K$

단계 3.3

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{6 y}) = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

단계 3.4

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$6 y$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{6 y})$ 을 전개합니다.

$6 y \ln (e) = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

단계 3.4.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$6 y \cdot 1 = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

단계 3.4.3

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 y = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

단계 3.5

$6 y = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$ 의 각 항을 $6$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$6 y = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$ 의 각 항을 $6$ 로 나눕니다.

$\frac{6 y}{6} = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)}{6}$

단계 3.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{6 y}{6} = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)}{6}$

단계 3.5.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)}{6}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + K)}{6}$

단계 5

초기 조건을 활용하여 $y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + K)}{6}$ 에서 $t$ 에 $0$ 을, $y$ 에 $2$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$2 = \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6}$

단계 6

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 2$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 2$

단계 6.2

방정식의 양변에 $6$ 을 곱합니다.

$6 \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 6 \cdot 2$

단계 6.3

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1

$6 \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1.1

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$6 \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 6 \cdot 2$

단계 6.3.1.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K) = 6 \cdot 2$

단계 6.3.1.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\ln (6 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + K) = 6 \cdot 2$

단계 6.3.1.1.2.2

$6$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\ln (0 - 6 \cdot 0 + K) = 6 \cdot 2$

단계 6.3.1.1.2.3

$- 6$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\ln (0 + 0 + K) = 6 \cdot 2$

단계 6.3.1.1.3

$0 + 0 + K$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1.3.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\ln (0 + K) = 6 \cdot 2$

단계 6.3.1.1.3.2

$0$ 를 $K$ 에 더합니다.

$\ln (K) = 6 \cdot 2$

단계 6.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\ln (K) = 12$

단계 6.4

$K$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (K)} = e^{12}$

단계 6.5

로그의 정의를 이용하여 $\ln (K) = 12$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{12} = K$

단계 6.6

$K = e^{12}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$K = e^{12}$

단계 7

$y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + K)}{6}$ 의 $K$ 에 $e^{12}$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$K$ 에 $e^{12}$ 를 대입합니다.

$y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})}{6}$

단계 7.2

$\frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})}{6}$ 을 $\frac{1}{6} \ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{1}{6} \ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})$

단계 7.3

$\frac{1}{6}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{6} \ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})$ 을 간단히 합니다.

$y = \ln ({(6 t^{2} - 6 t + e^{12})}^{\frac{1}{6}})$