미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (\ln (y) - \ln (x) + 1)}{x}$

단계 1

$\frac{y}{x}$ 의 함수로 미분 방정식을 다시 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (\ln (\frac{y}{x}) + 1)}{x}$

단계 1.2

$\frac{y (\ln (\frac{y}{x}) + 1)}{x}$ 의 $\frac{y}{x}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$\frac{y (\ln (\frac{y}{x}) + 1)}{x}$ 에서 $\frac{y}{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} (\ln (\frac{y}{x}) + 1)$

단계 1.2.2

$\frac{y}{x}$ 와 $\ln (\frac{y}{x}) + 1$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} = (\ln (\frac{y}{x}) + 1) \frac{y}{x}$

단계 2

$V = \frac{y}{x}$ 라고 두고, $V$ 를 $\frac{y}{x}$ 에 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = (\ln (V) + 1) V$

단계 3

$V = \frac{y}{x}$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

$y = V x$

단계 4

곱의 미분 법칙을 사용해 $x$ 에 대하여 $y = V x$ 의 도함수를 구합니다.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

단계 5

$\frac{d y}{d x}$ 에 $x \frac{d V}{d x} + V$ 를 대입합니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = (\ln (V) + 1) V$

단계 6

치환 미분 방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1

$(\ln (V) + 1) V$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1.1

다시 씁니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = 0 + 0 + (\ln (V) + 1) V$

단계 6.1.1.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = (\ln (V) + 1) V$

단계 6.1.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = \ln (V) V + 1 V$

단계 6.1.1.1.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1.4.1

$V$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = \ln (V) V + V$

단계 6.1.1.1.4.2

$\ln (V) V + V$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = V \ln (V) + V$

단계 6.1.1.2

$\frac{d V}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.1

방정식의 양변에서 $V$ 를 뺍니다.

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) + V - V$

단계 6.1.1.2.2

$V \ln (V) + V - V$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.2.1

$V$ 에서 $V$ 을 뺍니다.

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) + 0$

단계 6.1.1.2.2.2

$V \ln (V)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V)$

단계 6.1.1.3

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V)$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.1

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V)$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x}$

단계 6.1.1.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x}$

단계 6.1.1.3.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V)}{x}$

단계 6.1.2

양변에 $\frac{1}{V \ln (V)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{V \ln (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V \ln (V)} \cdot \frac{V \ln (V)}{x}$

단계 6.1.3

$V \ln (V)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{V \ln (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V \ln (V)} \cdot \frac{V \ln (V)}{x}$

단계 6.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{V \ln (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

단계 6.1.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{V \ln (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

단계 6.2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{V \ln (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

먼저 $u = \ln (V)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{1}{V} d V$ 이므로 $V d u = d V$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1

$u = \ln (V)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d V}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1.1

$\ln (V)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d V} [\ln (V)]$

단계 6.2.2.1.1.2

$\ln (V)$ 를 $V$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{V}$ 입니다.

$\frac{1}{V}$

단계 6.2.2.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.2

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3

$u$ 를 모두 $\ln (V)$ 로 바꿉니다.

$\ln (| \ln (V) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.3

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\ln (| \ln (V) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

단계 6.2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| \ln (V) |) = \ln (| x |) + C$

단계 6.3

$V$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| \ln (V) |) - \ln (| x |) = C$

단계 6.3.2

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\ln (\frac{| \ln (V) |}{| x |}) = C$

단계 6.3.3

$V$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (\frac{| \ln (V) |}{| x |})} = e^{C}$

단계 6.3.4

로그의 정의를 이용하여 $\ln (\frac{| \ln (V) |}{| x |}) = C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{C} = \frac{| \ln (V) |}{| x |}$

단계 6.3.5

$V$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.5.1

$\frac{| \ln (V) |}{| x |} = e^{C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{| \ln (V) |}{| x |} = e^{C}$

단계 6.3.5.2

양변에 $| x |$ 을 곱합니다.

$\frac{| \ln (V) |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

단계 6.3.5.3

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.5.3.1

$| x |$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.5.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{| \ln (V) |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

단계 6.3.5.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$| \ln (V) | = e^{C} | x |$

단계 6.3.5.4

$V$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.5.4.1

$e^{C} | x |$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$| \ln (V) | = | x | e^{C}$

단계 6.3.5.4.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$\ln (V) = \pm | x | e^{C}$

단계 6.3.5.4.3

$V$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (V)} = e^{\pm | x | e^{C}}$

단계 6.3.5.4.4

로그의 정의를 이용하여 $\ln (V) = \pm | x | e^{C}$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{\pm | x | e^{C}} = V$

단계 6.3.5.4.5

$V$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.5.4.5.1

$V = e^{\pm | x | e^{C}}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$V = e^{\pm | x | e^{C}}$

단계 6.3.5.4.5.2

$e^{\pm | x | e^{C}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$V = e^{\pm e^{C} | x |}$

단계 6.4

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

적분 상수를 간단히 합니다.

$V = e^{\pm C | x |}$

단계 6.4.2

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$V = e^{C | x |}$

단계 7

$V$ 에 $\frac{y}{x}$ 를 대입합니다.

$\frac{y}{x} = e^{C | x |}$

단계 8

$\frac{y}{x} = e^{C | x |}$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

양변에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{x} x = e^{C | x |} x$

단계 8.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{x} x = e^{C | x |} x$

단계 8.2.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y = e^{C | x |} x$

단계 8.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

$e^{C | x |} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = x e^{C | x |}$