미적분 예제

$x (1 - y) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{d y}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(x \cdot 1 + x (- y)) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

단계 1.1.1.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x + x (- y)) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

단계 1.1.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$(x - x y) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

단계 1.1.1.4

분배 법칙을 적용합니다.

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

단계 1.1.1.5

분배 법칙을 적용합니다.

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} + 1 y - x y = 0$

단계 1.1.1.6

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} + y - x y = 0$

단계 1.1.2

$\frac{d y}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

방정식의 양변에서 $y$ 를 뺍니다.

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} - x y = - y$

단계 1.1.2.2

방정식의 양변에 $x y$ 를 더합니다.

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} = - y + x y$

단계 1.1.3

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x}$ 에서 $x \frac{d y}{d x}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$x \frac{d y}{d x}$ 에서 $x \frac{d y}{d x}$ 를 인수분해합니다.

$x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - x y \frac{d y}{d x} = - y + x y$

단계 1.1.3.2

$- x y \frac{d y}{d x}$ 에서 $x \frac{d y}{d x}$ 를 인수분해합니다.

$x \frac{d y}{d x} \cdot 1 + x \frac{d y}{d x} (- 1 y) = - y + x y$

단계 1.1.3.3

$x \frac{d y}{d x} \cdot 1 + x \frac{d y}{d x} (- 1 y)$ 에서 $x \frac{d y}{d x}$ 를 인수분해합니다.

$x \frac{d y}{d x} (1 - 1 y) = - y + x y$

단계 1.1.4

$- 1 y$ 을 $- y$ 로 바꿔 씁니다.

$x \frac{d y}{d x} (1 - y) = - y + x y$

단계 1.1.5

$x \frac{d y}{d x} (1 - y) = - y + x y$ 의 각 항을 $x (1 - y)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1

$x \frac{d y}{d x} (1 - y) = - y + x y$ 의 각 항을 $x (1 - y)$ 로 나눕니다.

$\frac{x \frac{d y}{d x} (1 - y)}{x (1 - y)} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

단계 1.1.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{d y}{d x} (1 - y)}{x (1 - y)} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

단계 1.1.5.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

단계 1.1.5.2.2

$1 - y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

단계 1.1.5.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

단계 1.1.5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.3.1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

단계 1.1.5.3.1.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

단계 1.1.5.3.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y}{1 - y}$

단계 1.1.5.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{y}{1 - y}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y}{1 - y} \cdot \frac{x}{x}$

단계 1.1.5.3.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $x (1 - y)$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.3.3.1

$\frac{y}{1 - y}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y x}{(1 - y) x}$

단계 1.1.5.3.3.2

$(1 - y) x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y x}{x (1 - y)}$

단계 1.1.5.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y + y x}{x (1 - y)}$

단계 1.1.5.3.5

$- y + y x$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.3.5.1

$- y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1 + y x}{x (1 - y)}$

단계 1.1.5.3.5.2

$y x$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1 + y (x)}{x (1 - y)}$

단계 1.1.5.3.5.3

$y \cdot - 1 + y (x)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 + x)}{x (1 - y)}$

단계 1.1.5.3.6

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (1) + x)}{x (1 - y)}$

단계 1.1.5.3.7

$x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (1) - 1 (- x))}{x (1 - y)}$

단계 1.1.5.3.8

$- 1 (1) - 1 (- x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (1 - x))}{x (1 - y)}$

단계 1.1.5.3.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (1 - x)}{x (1 - y)}$

단계 1.2

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{1 - y} \cdot \frac{1 - x}{x}$

단계 1.3

양변에 $\frac{1 - y}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - y}{y} (- \frac{y}{1 - y} \cdot \frac{1 - x}{x})$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1 - y}{y} (\frac{y}{1 - y} \cdot \frac{1 - x}{x})$

단계 1.4.2

$\frac{y}{1 - y}$ 에 $\frac{1 - x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1 - y}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

단계 1.4.3

$1 - y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.3.1

$- \frac{1 - y}{y}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- (1 - y)}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

단계 1.4.3.2

$- (1 - y)$ 에서 $1 - y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

단계 1.4.3.3

$(1 - y) x$ 에서 $1 - y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) (x)}$

단계 1.4.3.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

단계 1.4.3.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{x}$

단계 1.4.4

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{x}$

단계 1.4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1 - x}{x}$

단계 1.5

식을 다시 씁니다.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1 - x}{x} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1 - y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$\int \frac{1}{y} + \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

단계 2.2.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

단계 2.2.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

단계 2.2.3.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 1 d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

단계 2.2.4

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 1 d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

단계 2.2.5

상수 규칙을 적용합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} - y + C_{2} = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

단계 2.2.6

간단히 합니다.

$\ln (| y |) - y + C_{3} = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

단계 2.2.7

항을 다시 정렬합니다.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{1 - x}{x} d x$

단계 2.3.2

$1$ 와 $- x$ 을 다시 정렬합니다.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{- x + 1}{x} d x$

단계 2.3.3

$- x + 1$ 을 $x$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$0$

$x$

$1$

단계 2.3.3.2

피제수 $- x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				-	$1$
	$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$

단계 2.3.3.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$
			-	$x$	+	$0$

단계 2.3.3.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- x + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$
			+	$x$	-	$0$

단계 2.3.3.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$
			+	$x$	-	$0$
					+	$1$

단계 2.3.3.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int - 1 + \frac{1}{x} d x$

단계 2.3.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\int - 1 d x + \int \frac{1}{x} d x)$

단계 2.3.5

상수 규칙을 적용합니다.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (- x + C_{4} + \int \frac{1}{x} d x)$

단계 2.3.6

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (- x + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5})$

단계 2.3.7

간단히 합니다.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (- x + \ln (| x |)) + C_{6}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- y + \ln (| y |) = - (- x + \ln (| x |)) + C$