미적분 예제

$\sin (x) d y + y^{2} \cos (x) d x = 0$

단계 1

완전미분 방정식 해법에 맞도록 미분 방정식을 다시 작성합니다.

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단계 1.1

다시 씁니다.

$y^{2} \cos (x) d x + \sin (x) d y = 0$

단계 2

$M (x, y) = y^{2} \cos (x)$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} \cos (x)]$

단계 2.2

$\cos (x)$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $y^{2} \cos (x)$ 의 미분은 $\cos (x) \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) (2 y)$

단계 2.4

다시 정렬합니다.

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단계 2.4.1

$\cos (x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot \cos (x) y$

단계 2.4.2

$2 \cos (x) y$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y \cos (x)$

단계 3

$N (x, y) = \sin (x)$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 3.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 3.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x)$

단계 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $2 y \cos (x)$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $\cos (x)$ 을 대입합니다.

$2 y \cos (x) = \cos (x)$

단계 4.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$2 y \cos (x) = \cos (x)$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 5

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $\cos (x)$ 를 대입합니다.

$\frac{\cos (x) - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

단계 5.2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $2 y \cos (x)$ 를 대입합니다.

$\frac{\cos (x) - (2 y \cos (x))}{M}$

단계 5.3

$M$ 에 $y^{2} \cos (x)$ 를 대입합니다.

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단계 5.3.1

$M$ 에 $y^{2} \cos (x)$ 를 대입합니다.

$\frac{\cos (x) - (2 y \cos (x))}{y^{2} \cos (x)}$

단계 5.3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.3.2.1

$\cos (x) - 1 \cdot 2 y \cos (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.2.1.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{\cos (x) \cdot 1 - 1 \cdot 2 y \cos (x)}{y^{2} \cos (x)}$

단계 5.3.2.1.2

$- 1 \cdot 2 y \cos (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- 1 \cdot 2 y)}{y^{2} \cos (x)}$

단계 5.3.2.1.3

$\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- 1 \cdot 2 y)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos (x) (1 - 1 \cdot 2 y)}{y^{2} \cos (x)}$

단계 5.3.2.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\cos (x) (1 - 2 y)}{y^{2} \cos (x)}$

단계 5.3.3

$M$ 에 $y^{2} \cos (x)$ 를 대입합니다.

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단계 5.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\cos (x) (1 - 2 y)}{y^{2} \cos (x)}$

단계 5.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 - 2 y}{y^{2}}$

단계 5.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1 - 2 y}{y^{2}} d y}$

단계 6

적분 $e^{\int \frac{1 - 2 y}{y^{2}} d y}$ 을 구합니다.

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단계 6.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 6.1.1

$y^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$μ (x, y) = e^{\int (1 - 2 y) {(y^{2})}^{- 1} d y}$

단계 6.1.2

${(y^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 6.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$μ (x, y) = e^{\int (1 - 2 y) y^{2 \cdot - 1} d y}$

단계 6.1.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$μ (x, y) = e^{\int (1 - 2 y) y^{- 2} d y}$

단계 6.2

$(1 - 2 y) y^{- 2}$ 을 곱합니다.

$μ (x, y) = e^{\int 1 y^{- 2} - 2 y \cdot y^{- 2} d y}$

단계 6.3

간단히 합니다.

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단계 6.3.1

$y^{- 2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 y \cdot y^{- 2} d y}$

단계 6.3.2

지수를 더하여 $y$ 에 $y^{- 2}$ 을 곱합니다.

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단계 6.3.2.1

$y^{- 2}$ 를 옮깁니다.

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 (y^{- 2} y) d y}$

단계 6.3.2.2

$y^{- 2}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

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단계 6.3.2.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 (y^{- 2} y^{1}) d y}$

단계 6.3.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 y^{- 2 + 1} d y}$

단계 6.3.2.3

$- 2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 y^{- 1} d y}$

단계 6.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} d y + \int - 2 y^{- 1} d y}$

단계 6.5

멱의 법칙에 의해 $y^{- 2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $- y^{- 1}$ 가 됩니다.

$μ (x, y) = e^{- y^{- 1} + C + \int - 2 y^{- 1} d y}$

단계 6.6

$- 2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- y^{- 1} + C - 2 \int y^{- 1} d y}$

단계 6.7

$y^{- 1}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{- y^{- 1} + C - 2 (\ln (| y |) + C)}$

단계 6.8

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (| y |)} + C$

단계 6.9

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.9.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 2 \ln (| y |)$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{y} - \ln ({| y |}^{2})} + C$

단계 6.9.2

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| y |}^{2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} + C$

단계 7

$y^{2} \cos (x) d x + \sin (x) d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ 를 곱합니다.

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단계 7.1

$y^{2} \cos (x)$ 에 $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ 을 곱합니다.

$y^{2} \cos (x) e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} d x + \sin (x) d y = 0$

단계 7.2

$y^{2} \cos (x) e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x) d x + \sin (x) d y = 0$

단계 7.3

$\sin (x)$ 에 $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ 을 곱합니다.

$y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x) d x + \sin (x) e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} d y = 0$

단계 7.4

$\sin (x) e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x) d x + e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) d y = 0$

단계 8

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x) d x$

단계 9

$M (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x)$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 9.1

$y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x)$ 을 $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))} \cos (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x, y) = \int y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))} \cos (x) d x$

단계 9.2

$y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))} \int \cos (x) d x$

단계 9.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \int \cos (x) d x$

단계 9.4

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\sin (x)$ 입니다.

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\sin (x) + C)$

단계 9.5

간단히 합니다.

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + C$

단계 10

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + g (y)$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

단계 12

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

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단계 12.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

단계 12.2

합의 법칙에 의해 $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

단계 12.3

$\frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 12.3.1

$\sin (x)$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)$ 의 미분은 $\sin (x) \frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)}]$ 입니다.

$\sin (x) \frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

단계 12.3.2

$f (y) = y^{2}$ , $g (y) = e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sin (x) (y^{2} \frac{d}{d y} [e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)}] + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

단계 12.3.3

$f (y) = e^{y}$ , $g (y) = - \frac{1}{y} - 2 \ln (y)$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 12.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)$ 로 바꿉니다.

$\sin (x) (y^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)]) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

단계 12.3.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sin (x) (y^{2} (e^{u} \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)]) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

단계 12.3.3.3

$u$ 를 모두 $- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)$ 로 바꿉니다.

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)]) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

단계 12.3.4

합의 법칙에 의해 $- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)]$ 가 됩니다.

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

단계 12.3.5

$f (y) = - 1$ , $g (y) = \frac{1}{y}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

단계 12.3.6

$\frac{1}{y}$ 을 $y^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

단계 12.3.7

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

단계 12.3.8

$- 1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

단계 12.3.9

$- 2$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- 2 \ln (y)$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ 입니다.

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

단계 12.3.10

$\ln (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{y}$ 입니다.

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

단계 12.3.11

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

단계 12.3.12

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (1 y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

단계 12.3.13

$y^{- 2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

단계 12.3.14

$\frac{1}{y}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} + 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

단계 12.3.15

$y^{- 2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

단계 12.3.16

$- 2$ 와 $\frac{1}{y}$ 을 묶습니다.

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} + \frac{- 2}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

단계 12.3.17

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} - \frac{2}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

단계 12.4

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} - \frac{2}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

단계 12.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

단계 12.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y}))) + \sin (x) (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

단계 12.5.3

괄호를 제거합니다.

$\sin (x) y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y})) + \sin (x) e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y) + \frac{d g}{d y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

단계 12.5.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y}) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

단계 12.5.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) \frac{1}{y^{2}} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) (- \frac{2}{y}) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

단계 12.5.5.2

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.5.2.1

$e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x)$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d g}{d y} + y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)) \frac{1}{y^{2}} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) (- \frac{2}{y}) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

단계 12.5.5.2.2

공약수로 약분합니다.

단계 12.5.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) (- \frac{2}{y}) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

단계 12.5.5.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) \frac{2}{y} + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

단계 12.5.5.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.5.4.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.5.4.1.1

$- e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + y (- e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x)) \frac{2}{y} + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

단계 12.5.5.4.1.2

공약수로 약분합니다.

단계 12.5.5.4.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) \cdot 2 + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

단계 12.5.5.4.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

단계 12.5.6

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x)$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.6.1

$- 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x)$ 를 $2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x)$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + 0 = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

단계 12.5.6.2

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

단계 13

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) = - \frac{d g}{d y}$

단계 13.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.2.1

$e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.2.1.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 2 \ln (y)$ 을 간단히 합니다.

$e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) = - \frac{d g}{d y}$

단계 13.1.2.1.2

$e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$ 에서 $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$ 을 뺍니다.

$0 = - \frac{d g}{d y}$

단계 13.1.3

$\frac{d g}{d y}$ 가 식의 우변에 있으므로, 두 변을 바꿔 식의 좌변으로 옮깁니다.

$- \frac{d g}{d y} = 0$

단계 13.1.4

$- \frac{d g}{d y} = 0$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.4.1

$- \frac{d g}{d y} = 0$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \frac{d g}{d y}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

단계 13.1.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.4.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\frac{d g}{d y}}{1} = \frac{0}{- 1}$

단계 13.1.4.2.2

$\frac{d g}{d y}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d g}{d y} = \frac{0}{- 1}$

단계 13.1.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.4.3.1

$0$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{d g}{d y} = 0$

단계 14

$0$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$\frac{d g}{d y} = 0$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

단계 14.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int 0 d y$

단계 14.3

$0$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $0$ 입니다.

$g (y) = 0 + C$

단계 14.4

$0$ 를 $C$ 에 더합니다.

$g (y) = C$

단계 15

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + C$

단계 16

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 2 \ln (y)$ 을 간단히 합니다.

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) + C$