미적분 예제

$2 x y \frac{d y}{d x} + y^{2} - 2 x = 0$

단계 1

$v = y^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $y^{2}$ 를 $v$ 로 바꿉니다.

$2 x y \frac{d y}{d x} + v - 2 x = 0$

단계 2

$y^{2}$ 를 미분하여 $\frac{d v}{d x}$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{d v}{d x} = 2 u \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d v}{d x} = 2 y \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d v}{d x} = 2 y y'$

단계 3

도함수를 다시 미분 방정식에 대입합니다.

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단계 3.1

$2 x y$ 에서 $2 y$ 를 인수분해합니다.

$2 y (x) \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} + v - 2 x = 0$

단계 3.2

공약수로 약분합니다.

$2 y x \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} + v - 2 x = 0$

단계 3.3

수식을 다시 씁니다.

$x \frac{d v}{d x} + v - 2 x = 0$

단계 4

방정식의 양변에 $2 x$ 를 더합니다.

$x \frac{d v}{d x} + v = 2 x$

단계 5

방정식 좌변이 $x v$ 항의 도함수 결과값인지 확인합니다.

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단계 5.1

$f (x) = x$ , $g (x) = v$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [v] + v \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.2

$\frac{d}{d x} [v]$ 을 $v'$ 로 바꿔 씁니다.

$x v' + v \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x v' + v \cdot 1$

단계 5.4

$v'$ 에 $\frac{d v}{d x}$ 를 대입합니다.

$x \frac{d v}{d x} + v \cdot 1$

단계 5.5

$v$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$x \frac{d v}{d x} + 1 \cdot v$

단계 5.6

$v$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x \frac{d v}{d x} + v$

단계 6

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x v] = 2 x$

단계 7

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int 2 x d x$

단계 8

좌변을 적분합니다.

$x v = \int 2 x d x$

단계 9

우변을 적분합니다.

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단계 9.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x v = 2 \int x d x$

단계 9.2

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$x v = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

단계 9.3

답을 간단히 합니다.

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단계 9.3.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 을 $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$x v = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

단계 9.3.2

간단히 합니다.

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단계 9.3.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$x v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

단계 9.3.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$x v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

단계 9.3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x v = 1 x^{2} + C$

단계 9.3.2.3

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x v = x^{2} + C$

단계 10

$x v = x^{2} + C$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 10.1

$x v = x^{2} + C$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x v}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 10.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 10.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x v}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 10.2.1.2

$v$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$v = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 10.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 10.3.1

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.3.1.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$v = \frac{x \cdot x}{x} + \frac{C}{x}$

단계 10.3.1.2

공약수로 약분합니다.

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단계 10.3.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$v = \frac{x \cdot x}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

단계 10.3.1.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$v = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

단계 10.3.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$v = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

단계 10.3.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$v = \frac{x}{1} + \frac{C}{x}$

단계 10.3.1.2.5

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$v = x + \frac{C}{x}$

단계 11

$v$ 를 모두 $y^{2}$ 로 바꿉니다.

$y^{2} = x + \frac{C}{x}$

단계 12

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{x + \frac{C}{x}}$

단계 12.2

$\pm \sqrt{x + \frac{C}{x}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 12.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $x$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x}{x} + \frac{C}{x}}$

단계 12.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x + C}{x}}$

단계 12.2.3

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + C}{x}}$

단계 12.2.4

$\sqrt{\frac{x^{2} + C}{x}}$ 을 $\frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$

단계 12.2.5

$\frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$ 에 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

단계 12.2.6

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 12.2.6.1

$\frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$ 에 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

단계 12.2.6.2

$\sqrt{x}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

단계 12.2.6.3

$\sqrt{x}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

단계 12.2.6.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

단계 12.2.6.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

단계 12.2.6.6

${\sqrt{x}}^{2}$ 을 $x$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 12.2.6.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 12.2.6.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 12.2.6.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

단계 12.2.6.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.2.6.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

단계 12.2.6.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{1}}$

단계 12.2.6.6.5

간단히 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x}$

단계 12.2.7

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} + C) x}}{x}$

단계 12.2.8

$\pm \frac{\sqrt{(x^{2} + C) x}}{x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

단계 12.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 12.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

단계 12.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

단계 12.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$