미적분 예제

$(2 y^{3} - x^{3}) d x + 3 x y^{2} d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = 2 y^{3} - x^{3}$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y^{3} - x^{3}]$

단계 1.2

합의 법칙에 의해 $2 y^{3} - x^{3}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x^{3}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d y} [2 y^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$2$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 y^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x^{3}]$

단계 1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [- x^{3}]$

단계 1.3.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2} + \frac{d}{d y} [- x^{3}]$

단계 1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.4.1

$- x^{3}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- x^{3}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- x^{3}$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2} + 0$

단계 1.4.2

$6 y^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2}$

단계 2

$N (x, y) = 3 x y^{2}$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y^{2}]$

단계 2.2

$3 y^{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x y^{2}$ 의 미분은 $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \cdot 1$

단계 2.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2}$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $6 y^{2}$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $3 y^{2}$ 을 대입합니다.

$6 y^{2} = 3 y^{2}$

단계 3.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$6 y^{2} = 3 y^{2}$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $6 y^{2}$ 를 대입합니다.

$\frac{6 y^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

단계 4.2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $3 y^{2}$ 를 대입합니다.

$\frac{6 y^{2} - (3 y^{2})}{N}$

단계 4.3

$N$ 에 $3 x y^{2}$ 를 대입합니다.

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단계 4.3.1

$N$ 에 $3 x y^{2}$ 를 대입합니다.

$\frac{6 y^{2} - (3 y^{2})}{3 x y^{2}}$

단계 4.3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.2.1

$6 y^{2} - 1 \cdot 3 y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.3.2.1.1

$6 y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y^{2} \cdot 6 - 1 \cdot 3 y^{2}}{3 x y^{2}}$

단계 4.3.2.1.2

$- 1 \cdot 3 y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y^{2} \cdot 6 + y^{2} (- 1 \cdot 3)}{3 x y^{2}}$

단계 4.3.2.1.3

$y^{2} \cdot 6 + y^{2} (- 1 \cdot 3)$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y^{2} (6 - 1 \cdot 3)}{3 x y^{2}}$

단계 4.3.2.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2} (6 - 3)}{3 x y^{2}}$

단계 4.3.2.3

$6$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{y^{2} \cdot 3}{3 x y^{2}}$

단계 4.3.3

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y^{2} \cdot 3}{3 x y^{2}}$

단계 4.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3}{3 x}$

단계 4.3.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3}{3 x}$

단계 4.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x}$

단계 4.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

단계 5

적분 $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

단계 5.2

답을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

단계 5.2.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = | x | + C$

단계 6

$(2 y^{3} - x^{3}) d x + 3 x y^{2} d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $x$ 를 곱합니다.

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단계 6.1

$2 y^{3} - x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$(2 y^{3} - x^{3}) x d x + 3 x y^{2} d y = 0$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 y^{3} x - x^{3} x) d x + 3 x y^{2} d y = 0$

단계 6.3

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 6.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$(2 y^{3} x - (x \cdot x^{3})) d x + 3 x y^{2} d y = 0$

단계 6.3.2

$x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 6.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$(2 y^{3} x - (x^{1} x^{3})) d x + 3 x y^{2} d y = 0$

단계 6.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(2 y^{3} x - x^{1 + 3}) d x + 3 x y^{2} d y = 0$

단계 6.3.3

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$(2 y^{3} x - x^{4}) d x + 3 x y^{2} d y = 0$

단계 6.4

$3 x y^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$(2 y^{3} x - x^{4}) d x + 3 x y^{2} x d y = 0$

단계 6.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 6.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$(2 y^{3} x - x^{4}) d x + 3 (x \cdot x) y^{2} d y = 0$

단계 6.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$(2 y^{3} x - x^{4}) d x + 3 x^{2} y^{2} d y = 0$

단계 7

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y^{2} d y$

단계 8

$N (x, y) = 3 x^{2} y^{2}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 8.1

$3 x^{2}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $3 x^{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = 3 x^{2} \int y^{2} d y$

단계 8.2

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = 3 x^{2} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

단계 8.3

답을 간단히 합니다.

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단계 8.3.1

$3 x^{2} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ 을 $3 x^{2} \frac{1}{3} y^{3} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x, y) = 3 x^{2} \frac{1}{3} y^{3} + C$

단계 8.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1

$3$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = x^{2} \frac{3}{3} y^{3} + C$

단계 8.3.2.2

$x^{2}$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2} \cdot 3}{3} y^{3} + C$

단계 8.3.2.3

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$f (x, y) = \frac{3 \cdot x^{2}}{3} y^{3} + C$

단계 8.3.2.4

$3$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{3 x^{2}}{3} y^{3} + C$

단계 8.3.2.5

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.3.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$f (x, y) = \frac{3 x^{2}}{3} y^{3} + C$

단계 8.3.2.5.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (x, y) = x^{2} y^{3} + C$

단계 9

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = x^{2} y^{3} + g (x)$

단계 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y^{3} x - x^{4}$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

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단계 11.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3} + g (x)] = 2 y^{3} x - x^{4}$

단계 11.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} y^{3} + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{3} x - x^{4}$

단계 11.3

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 11.3.1

$y^{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $x^{2} y^{3}$ 의 미분은 $y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{3} x - x^{4}$

단계 11.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y^{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{3} x - x^{4}$

단계 11.3.3

$y^{3}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 y^{3} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{3} x - x^{4}$

단계 11.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$2 y^{3} x + \frac{d g}{d x} = 2 y^{3} x - x^{4}$

단계 11.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{3} x = 2 y^{3} x - x^{4}$

단계 12

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.1

$\frac{d g}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 12.1.1

방정식의 양변에서 $2 y^{3} x$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{3} x - x^{4} - 2 y^{3} x$

단계 12.1.2

$2 y^{3} x - x^{4} - 2 y^{3} x$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 12.1.2.1

$2 y^{3} x$ 에서 $2 y^{3} x$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = - x^{4} + 0$

단계 12.1.2.2

$- x^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = - x^{4}$

단계 13

$- x^{4}$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

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단계 13.1

$\frac{d g}{d x} = - x^{4}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x^{4} d x$

단계 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int - x^{4} d x$

단계 13.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (x) = - \int x^{4} d x$

단계 13.4

멱의 법칙에 의해 $x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} x^{5}$ 가 됩니다.

$g (x) = - (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

단계 13.5

$- (\frac{1}{5} x^{5} + C)$ 을 $- \frac{1}{5} x^{5} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$g (x) = - \frac{1}{5} x^{5} + C$

단계 14

$f (x, y) = x^{2} y^{3} + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = x^{2} y^{3} - \frac{1}{5} x^{5} + C$

단계 15

$x^{5}$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = x^{2} y^{3} - \frac{x^{5}}{5} + C$