미적분 예제

$(2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = 2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}]$

단계 1.2

합의 법칙에 의해 $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$2 x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 x y^{2}$ 의 미분은 $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

단계 1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

단계 1.3.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

단계 1.4

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.4.1

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $\frac{x}{y^{2}}$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$

단계 1.4.2

$\frac{1}{y^{2}}$ 을 ${(y^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}]$

단계 1.4.3

$f (y) = y^{- 1}$ , $g (y) = y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.4.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}])$

단계 1.4.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

단계 1.4.3.3

$u$ 를 모두 $y^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

단계 1.4.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y))$

단계 1.4.5

${(y^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.4.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- y^{2 \cdot - 2} (2 y))$

단계 1.4.5.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- y^{- 4} (2 y))$

단계 1.4.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 y^{- 4} y)$

단계 1.4.7

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 (y^{1} y^{- 4}))$

단계 1.4.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 y^{1 - 4})$

단계 1.4.9

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 y^{- 3})$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 \frac{1}{y^{3}})$

단계 1.5.2

항을 묶습니다.

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단계 1.5.2.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{y^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x \frac{- 2}{y^{3}}$

단계 1.5.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- \frac{2}{y^{3}})$

단계 1.5.2.3

$x$ 와 $\frac{2}{y^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - \frac{x \cdot 2}{y^{3}}$

단계 1.5.2.4

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}$

단계 2

$N (x, y) = 4 x^{2} y$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 x^{2} y]$

단계 2.2

$4 y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2} y$ 의 미분은 $4 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y (2 x)$

단계 2.4

식을 간단히 합니다.

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단계 2.4.1

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 8 y x$

단계 2.4.2

$8 y x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 8 x y$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $8 x y$ 을 대입합니다.

$4 x y - \frac{2 x}{y^{3}} = 8 x y$

단계 3.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$4 x y - \frac{2 x}{y^{3}} = 8 x y$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $8 x y$ 를 대입합니다.

$\frac{8 x y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

단계 4.2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}$ 를 대입합니다.

$\frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{M}$

단계 4.3

$M$ 에 $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ 를 대입합니다.

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단계 4.3.1

$M$ 에 $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ 를 대입합니다.

$\frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}}$

단계 4.3.2

분수의 분자와 분모에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.2.1

$\frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}}$ 에 $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2}}{y^{2}} \cdot \frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}}$

단계 4.3.2.2

조합합니다.

$\frac{y^{2} (8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}})}$

단계 4.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + y^{2} \frac{x}{y^{2}}}$

단계 4.3.4

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + y^{2} \frac{x}{y^{2}}}$

단계 4.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.5.1

$y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))$ 에서 $y^{3}$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.3.5.1.1

$y^{2} (8 x y)$ 에서 $y^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y^{3} (y^{- 1} (8 x y)) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5.1.2

$y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))$ 에서 $y^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y^{3} (y^{- 1} (8 x y)) + y^{3} (y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5.1.3

$y^{3} (y^{- 1} (8 x y)) + y^{3} (y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))$ 에서 $y^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y^{3} (y^{- 1} (8 x y) + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{y^{3} (8 y^{- 1} (x y) + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5.3

지수를 더하여 $y^{- 1}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.5.3.1

$y$ 를 옮깁니다.

$\frac{y^{3} (8 (y \cdot y^{- 1}) x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5.3.2

$y$ 에 $y^{- 1}$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.5.3.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{y^{3} (8 (y^{1} y^{- 1}) x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{y^{3} (8 y^{1 - 1} x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5.3.3

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{y^{3} (8 y^{0} x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5.4

$8 y^{0} x$ 을 간단히 합니다.

$\frac{y^{3} (8 x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{y^{3} (8 x - y^{- 1} (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5.6

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{y^{3} (8 x - \frac{1}{y} (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5.7

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y^{3} (8 x - \frac{1}{y} (4 x y) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5.8

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.5.8.1

$- \frac{1}{y}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{y^{3} (8 x + \frac{- 1}{y} (4 x y) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5.8.2

$4 x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y^{3} (8 x + \frac{- 1}{y} (y (4 x)) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5.8.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{y^{3} (8 x + \frac{- 1}{y} (y (4 x)) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5.8.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y^{3} (8 x - (4 x) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5.9

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5.10

$- \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}})$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.5.10.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + 1 \frac{1}{y} \frac{2 x}{y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5.10.2

$\frac{1}{y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{1}{y} \cdot \frac{2 x}{y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5.10.3

$\frac{1}{y}$ 에 $\frac{2 x}{y^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y \cdot y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5.10.4

지수를 더하여 $y$ 에 $y^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.5.10.4.1

$y$ 에 $y^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.5.10.4.1.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y^{1} y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5.10.4.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y^{1 + 3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5.10.4.2

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5.11

$8 x$ 에서 $4 x$ 을 뺍니다.

$\frac{y^{3} (4 x + \frac{2 x}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5.12

$4 x + \frac{2 x}{y^{4}}$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.5.12.1

$4 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y^{3} (2 x (2) + \frac{2 x}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5.12.2

$\frac{2 x}{y^{4}}$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y^{3} (2 x (2) + 2 x \frac{1}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5.12.3

$2 x (2) + 2 x \frac{1}{y^{4}}$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y^{3} (2 x (2 + \frac{1}{y^{4}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

$\frac{y^{3} \cdot 2 x (2 + \frac{1}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5.13

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{y^{4}}{y^{4}}$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{3} \cdot 2 x (\frac{2 y^{4}}{y^{4}} + \frac{1}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5.14

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{y^{3} \cdot 2 x \frac{2 y^{4} + 1}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5.15

지수를 묶습니다.

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단계 4.3.5.15.1

$y^{3}$ 와 $\frac{2 y^{4} + 1}{y^{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x \frac{y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5.15.2

$2$ 와 $\frac{y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x \frac{2 (y^{3} (2 y^{4} + 1))}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5.15.3

$x$ 와 $\frac{2 (y^{3} (2 y^{4} + 1))}{y^{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{x (2 (y^{3} (2 y^{4} + 1)))}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5.16

불필요한 괄호를 제거합니다.

$\frac{\frac{x \cdot 2 y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5.17

공약수를 소거하여 수식 $\frac{x \cdot 2 y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}$ 을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.5.17.1

$x \cdot 2 y^{3} (2 y^{4} + 1)$ 에서 $y^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{y^{3} (x \cdot 2 (2 y^{4} + 1))}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5.17.2

$y^{4}$ 에서 $y^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{y^{3} (x \cdot 2 (2 y^{4} + 1))}{y^{3} y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5.17.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{y^{3} (x \cdot 2 (2 y^{4} + 1))}{y^{3} y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5.17.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{x \cdot 2 (2 y^{4} + 1)}{y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.5.18

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

단계 4.3.6

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.3.6.1

$y^{2} (2 x y^{2}) + x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.6.1.1

$y^{2} (2 x y^{2})$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2})) + x}$

단계 4.3.6.1.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2})) + x^{1}}$

단계 4.3.6.1.3

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2})) + x \cdot 1}$

단계 4.3.6.1.4

$x (y^{2} (2 y^{2})) + x \cdot 1$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2}) + 1)}$

단계 4.3.6.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 y^{2} y^{2} + 1)}$

단계 4.3.6.3

지수를 더하여 $y^{2}$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.6.3.1

$y^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 (y^{2} y^{2}) + 1)}$

단계 4.3.6.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 y^{2 + 2} + 1)}$

단계 4.3.6.3.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 y^{4} + 1)}$

단계 4.3.7

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y} \cdot \frac{1}{x (2 y^{4} + 1)}$

단계 4.3.8

조합합니다.

$\frac{2 x (2 y^{4} + 1) \cdot 1}{y (x (2 y^{4} + 1))}$

단계 4.3.9

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.9.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x (2 y^{4} + 1) \cdot 1}{y (x (2 y^{4} + 1))}$

단계 4.3.9.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(2 (2 y^{4} + 1)) \cdot 1}{y (2 y^{4} + 1)}$

단계 4.3.10

$2 y^{4} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.10.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (2 y^{4} + 1) \cdot 1}{y (2 y^{4} + 1)}$

단계 4.3.10.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(2) \cdot 1}{y}$

단계 4.3.11

$M$ 에 $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ 를 대입합니다.

$\frac{2}{y}$

단계 4.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y} d y}$

단계 5

적분 $e^{\int \frac{2}{y} d y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y} d y}$

단계 5.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| y |) + C)}$

단계 5.3

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y |)} + C$

단계 5.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (| y |)$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{2})} + C$

단계 5.4.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = {| y |}^{2} + C$

단계 5.4.3

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| y |}^{2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$μ (x, y) = y^{2} + C$

단계 6

$(2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $y^{2}$ 를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

$(2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d x + 4 x^{2} y d y = 0$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 x y^{2} y^{2} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

단계 6.3

지수를 더하여 $y^{2}$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$y^{2}$ 를 옮깁니다.

$(2 x (y^{2} y^{2}) + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

단계 6.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(2 x y^{2 + 2} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

단계 6.3.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$(2 x y^{4} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

단계 6.4

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

공약수로 약분합니다.

$(2 x y^{4} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

단계 6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

단계 6.5

$4 x^{2} y$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y \cdot y^{2} d y = 0$

단계 6.6

지수를 더하여 $y$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.1

$y^{2}$ 를 옮깁니다.

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} (y^{2} y) d y = 0$

단계 6.6.2

$y^{2}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} (y^{2} y^{1}) d y = 0$

단계 6.6.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y^{2 + 1} d y = 0$

단계 6.6.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y^{3} d y = 0$

단계 7

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int 4 x^{2} y^{3} d y$

단계 8

$N (x, y) = 4 x^{2} y^{3}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$4 x^{2}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $4 x^{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = 4 x^{2} \int y^{3} d y$

단계 8.2

멱의 법칙에 의해 $y^{3}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} y^{4}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = 4 x^{2} (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

단계 8.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$4 x^{2} (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ 을 $4 x^{2} \frac{1}{4} y^{4} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x, y) = 4 x^{2} \frac{1}{4} y^{4} + C$

단계 8.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1

$4$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = x^{2} \frac{4}{4} y^{4} + C$

단계 8.3.2.2

$x^{2}$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2} \cdot 4}{4} y^{4} + C$

단계 8.3.2.3

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$f (x, y) = \frac{4 \cdot x^{2}}{4} y^{4} + C$

단계 8.3.2.4

$4$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{4 x^{2}}{4} y^{4} + C$

단계 8.3.2.5

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$f (x, y) = \frac{4 x^{2}}{4} y^{4} + C$

단계 8.3.2.5.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + C$

단계 9

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + g (x)$

단계 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y^{4} + x$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4} + g (x)] = 2 x y^{4} + x$

단계 11.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} y^{4} + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

단계 11.3

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1

$y^{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $x^{2} y^{4}$ 의 미분은 $y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

단계 11.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y^{4} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

단계 11.3.3

$y^{4}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 y^{4} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

단계 11.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$2 y^{4} x + \frac{d g}{d x} = 2 x y^{4} + x$

단계 11.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{4} x = 2 x y^{4} + x$

단계 12

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.1

$\frac{d g}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1

방정식의 양변에서 $2 y^{4} x$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y^{4} + x - 2 y^{4} x$

단계 12.1.2

$2 x y^{4} + x - 2 y^{4} x$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 12.1.2.1

인수가 항 $2 x y^{4}$ 과(와) $- 2 y^{4} x$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{4} x + x - 2 y^{4} x$

단계 12.1.2.2

$2 y^{4} x$ 에서 $2 y^{4} x$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

단계 12.1.2.3

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = x$

단계 13

$x$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

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단계 13.1

$\frac{d g}{d x} = x$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

단계 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int x d x$

단계 13.3

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 14

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 15

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + \frac{x^{2}}{2} + C$

단계 15.2

$x^{2} y^{4}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = y^{4} x^{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

단계 15.3

공통 분모를 가지는 분수로 $y^{4} x^{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = y^{4} x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

단계 15.4

$y^{4} x^{2}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

단계 15.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2} \cdot 2 + x^{2}}{2} + C$

단계 15.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.6.1

$y^{4} x^{2} \cdot 2 + x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.6.1.1

$y^{4} x^{2} \cdot 2$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{4} \cdot 2) + x^{2}}{2} + C$

단계 15.6.1.2

$1$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{4} \cdot 2) + x^{2} \cdot 1}{2} + C$

단계 15.6.1.3

$x^{2} (y^{4} \cdot 2) + x^{2} \cdot 1$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{4} \cdot 2 + 1)}{2} + C$

단계 15.6.2

$y^{4}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y^{4} + 1)}{2} + C$