미적분 예제

$d x + (x - y^{2}) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = 1$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

단계 1.2

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

단계 2

$N (x, y) = x - y^{2}$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x - y^{2}]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $x - y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

단계 2.4

$- y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- y^{2}$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

단계 2.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $0$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$0 = 1$

단계 3.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$0 = 1$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

단계 4.2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$\frac{1 + 0}{M}$

단계 4.3

$M$ 에 $1$ 를 대입합니다.

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단계 4.3.1

$M$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$\frac{1 + 0}{1}$

단계 4.3.2

$1 + 0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 + 0$

단계 4.3.3

$M$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$1$

단계 4.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int d y}$

단계 5

적분 $e^{\int d y}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

상수 규칙을 적용합니다.

$μ (x, y) = e^{y + C}$

단계 5.2

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{y} + C$

단계 6

$1$ 에 $e^{y}$ 을 곱합니다.

$d x + (x - y^{2}) d y = 0$

단계 7

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int e^{y} d x$

단계 8

$M (x, y) = e^{y}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 8.1

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = e^{y} x + C$

단계 9

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = e^{y} x + g (y)$

단계 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = x e^{y} - y^{2} e^{y}$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

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단계 11.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [e^{y} x + g (y)] = x e^{y} - y^{2} e^{y}$

단계 11.2

합의 법칙에 의해 $e^{y} x + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y} - y^{2} e^{y}$

단계 11.3

$\frac{d}{d y} [e^{y} x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 11.3.1

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $e^{y} x$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [e^{y}]$ 입니다.

$x \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y} - y^{2} e^{y}$

단계 11.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ 은 $a^{y} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x e^{y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y} - y^{2} e^{y}$

단계 11.4

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$x e^{y} + \frac{d g}{d y} = x e^{y} - y^{2} e^{y}$

단계 11.5

간단히 합니다.

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단계 11.5.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} + e^{y} x = x e^{y} - y^{2} e^{y}$

단계 11.5.2

$\frac{d g}{d y} + e^{y} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} + x e^{y} = x e^{y} - y^{2} e^{y}$

단계 12

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.1

$\frac{d g}{d y}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 12.1.1

방정식의 양변에서 $x e^{y}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = x e^{y} - y^{2} e^{y} - x e^{y}$

단계 12.1.2

$x e^{y} - y^{2} e^{y} - x e^{y}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 12.1.2.1

$x e^{y}$ 에서 $x e^{y}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y} + 0$

단계 12.1.2.2

$- y^{2} e^{y}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y}$

단계 13

$- y^{2} e^{y}$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

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단계 13.1

$\frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y^{2} e^{y} d y$

단계 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int - y^{2} e^{y} d y$

단계 13.3

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (y) = - \int y^{2} e^{y} d y$

단계 13.4

$u = y^{2}$ 이고 $d v = e^{y}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - \int e^{y} (2 y) d y)$

단계 13.5

$2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - (2 \int e^{y} (y) d y))$

단계 13.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - 2 \int e^{y} (y) d y)$

단계 13.7

$u = y$ 이고 $d v = e^{y}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - 2 (y e^{y} - \int e^{y} d y))$

단계 13.8

$e^{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $e^{y}$ 입니다.

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - 2 (y e^{y} - (e^{y} + C)))$

단계 13.9

답을 간단히 합니다.

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단계 13.9.1

$- (y^{2} e^{y} - 2 (y e^{y} - (e^{y} + C)))$ 을 $- (y^{2} e^{y} - 2 y e^{y} + 2 e^{y}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - 2 y e^{y} + 2 e^{y}) + C$

단계 13.9.2

간단히 합니다.

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단계 13.9.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$g (y) = - (y^{2} e^{y}) - (- 2 y e^{y}) - (2 e^{y}) + C$

단계 13.9.2.2

간단히 합니다.

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단계 13.9.2.2.1

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$g (y) = - y^{2} e^{y} + 2 (y e^{y}) - (2 e^{y}) + C$

단계 13.9.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$g (y) = - y^{2} e^{y} + 2 (y e^{y}) - 2 e^{y} + C$

$g (y) = - y^{2} e^{y} + 2 y e^{y} - 2 e^{y} + C$

단계 14

$f (x, y) = e^{y} x + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = e^{y} x - y^{2} e^{y} + 2 y e^{y} - 2 e^{y} + C$

단계 15

$f (x, y) = e^{y} x - y^{2} e^{y} + 2 y e^{y} - 2 e^{y} + C$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = x e^{y} - y^{2} e^{y} + 2 y e^{y} - 2 e^{y} + C$