미적분 예제

$y (x^{4} - y^{2}) d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = y (x^{4} - y^{2})$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (x^{4} - y^{2})]$

단계 1.2

$f (y) = y$ , $g (y) = x^{4} - y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [x^{4} - y^{2}] + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3

미분합니다.

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단계 1.3.1

합의 법칙에 의해 $x^{4} - y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.2

$x^{4}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x^{4}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x^{4}$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [- y^{2}] + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.4

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- y^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- (2 y)) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 2 y) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.4

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 (y^{1} y) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.5

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 (y^{1} y^{1}) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y^{1 + 1} + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y^{2} + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y^{2} + (x^{4} - y^{2}) \cdot 1$

단계 1.9

항을 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 1.9.1

$x^{4} - y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y^{2} + x^{4} - y^{2}$

단계 1.9.2

$- 2 y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{4} - 3 y^{2}$

단계 2

$N (x, y) = x (x^{4} + y^{2})$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x^{4} + y^{2})]$

단계 2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = x^{4} + y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}] + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3

미분합니다.

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단계 2.3.1

합의 법칙에 의해 $x^{4} + y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.3

$y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y^{2}$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (4 x^{3} + 0) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.4

$4 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (4 x^{3}) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 (x^{1} x^{3}) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{1 + 3} + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.6

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{4} + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{4} + (x^{4} + y^{2}) \cdot 1$

단계 2.8

항을 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 2.8.1

$x^{4} + y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{4} + x^{4} + y^{2}$

단계 2.8.2

$4 x^{4}$ 를 $x^{4}$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 x^{4} + y^{2}$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $x^{4} - 3 y^{2}$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $5 x^{4} + y^{2}$ 을 대입합니다.

$x^{4} - 3 y^{2} = 5 x^{4} + y^{2}$

단계 3.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$x^{4} - 3 y^{2} = 5 x^{4} + y^{2}$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $x^{4} - 3 y^{2}$ 를 대입합니다.

$\frac{x^{4} - 3 y^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

단계 4.2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $5 x^{4} + y^{2}$ 를 대입합니다.

$\frac{x^{4} - 3 y^{2} - (5 x^{4} + y^{2})}{N}$

단계 4.3

$N$ 에 $x (x^{4} + y^{2})$ 를 대입합니다.

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단계 4.3.1

$N$ 에 $x (x^{4} + y^{2})$ 를 대입합니다.

$\frac{x^{4} - 3 y^{2} - (5 x^{4} + y^{2})}{x (x^{4} + y^{2})}$

단계 4.3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.2.1

$u = y^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $y^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$\frac{- 4 x^{4} - 4 u}{x (x^{4} + y^{2})}$

단계 4.3.2.2

$- 4 x^{4} - 4 u$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.3.2.2.1

$- 4 x^{4}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- x^{4}) - 4 u}{x (x^{4} + y^{2})}$

단계 4.3.2.2.2

$- 4 u$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- x^{4}) + 4 (- u)}{x (x^{4} + y^{2})}$

단계 4.3.2.2.3

$4 (- x^{4}) + 4 (- u)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- x^{4} - u)}{x (x^{4} + y^{2})}$

단계 4.3.2.3

$u$ 를 모두 $y^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{4 (- x^{4} - y^{2})}{x (x^{4} + y^{2})}$

단계 4.3.3

$- x^{4} - y^{2}$ 및 $x^{4} + y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.3.1

$- x^{4}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- (x^{4}) - y^{2})}{x (x^{4} + y^{2})}$

단계 4.3.3.2

$- y^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- (x^{4}) - (y^{2}))}{x (x^{4} + y^{2})}$

단계 4.3.3.3

$- (x^{4}) - (y^{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- (x^{4} + y^{2}))}{x (x^{4} + y^{2})}$

단계 4.3.3.4

$- (x^{4} + y^{2})$ 을 $- 1 (x^{4} + y^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{4 (- 1 (x^{4} + y^{2}))}{x (x^{4} + y^{2})}$

단계 4.3.3.5

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 (- 1 (x^{4} + y^{2}))}{x (x^{4} + y^{2})}$

단계 4.3.3.6

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4 \cdot (- 1)}{x}$

단계 4.3.4

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 4}{x}$

단계 4.3.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{4}{x}$

단계 4.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

단계 5

적분 $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

단계 5.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

단계 5.3

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

단계 5.4

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

단계 5.5

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

단계 5.6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.6.1

$- 4$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 4 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

단계 5.6.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

단계 5.6.3

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| x |}^{- 4}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

단계 5.6.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

단계 6

$y (x^{4} - y^{2}) d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $\frac{1}{x^{4}}$ 를 곱합니다.

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단계 6.1

$y (x^{4} - y^{2})$ 에 $\frac{1}{x^{4}}$ 을 곱합니다.

$y (x^{4} - y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(y x^{4} + y (- y^{2})) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

단계 6.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$(y x^{4} - y \cdot y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

단계 6.4

지수를 더하여 $y$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 6.4.1

$y^{2}$ 를 옮깁니다.

$(y x^{4} - (y^{2} y)) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

단계 6.4.2

$y^{2}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

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단계 6.4.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$(y x^{4} - (y^{2} y^{1})) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

단계 6.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(y x^{4} - y^{2 + 1}) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

단계 6.4.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(y x^{4} - y^{3}) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

단계 6.5

$y x^{4} - y^{3}$ 에 $\frac{1}{x^{4}}$ 을 곱합니다.

$\frac{y x^{4} - y^{3}}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

단계 6.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.6.1

$y x^{4} - y^{3}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.6.1.1

$y x^{4}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (x^{4}) - y^{3}}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

단계 6.6.1.2

$- y^{3}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (x^{4}) + y (- y^{2})}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

단계 6.6.1.3

$y (x^{4}) + y (- y^{2})$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (x^{4} - y^{2})}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

단계 6.6.2

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{y ({(x^{2})}^{2} - y^{2})}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

단계 6.6.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x^{2}$ 이고 $b = y$ 입니다.

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

단계 6.7

$x (x^{4} + y^{2})$ 에 $\frac{1}{x^{4}}$ 을 곱합니다.

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

단계 6.8

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.8.1

$x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

단계 6.8.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

단계 6.8.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + (x^{4} + y^{2}) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

단계 6.9

$x^{4} + y^{2}$ 에 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + \frac{x^{4} + y^{2}}{x^{3}} d y = 0$

단계 7

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int \frac{x^{4} + y^{2}}{x^{3}} d y$

단계 8

$N (x, y) = \frac{x^{4} + y^{2}}{x^{3}}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 8.1

$\frac{1}{x^{3}}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{x^{3}}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} \int x^{4} + y^{2} d y$

단계 8.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (\int x^{4} d y + \int y^{2} d y)$

단계 8.3

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + C + \int y^{2} d y)$

단계 8.4

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + C + \frac{1}{3} y^{3} + C)$

단계 8.5

$\frac{1}{3}$ 와 $y^{3}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + C + \frac{y^{3}}{3} + C)$

단계 8.6

간단히 합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + C$

단계 9

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + g (x)$

단계 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

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단계 11.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.2

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3})]$ 의 값을 구합니다.

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단계 11.3.1

$\frac{1}{3}$ 와 $y^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.3.2

$f (x) = \frac{1}{x^{3}}$ , $g (x) = x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}] + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.3.3

합의 법칙에 의해 $x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x^{3}} (\frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3}]) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.3.4

$y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $x^{4} y$ 의 미분은 $y \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$\frac{1}{x^{3}} (y \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3}]) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.3.5

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3}]) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.3.6

$\frac{y^{3}}{3}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $\frac{y^{3}}{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{y^{3}}{3}$ 입니다.

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.3.7

$\frac{1}{x^{3}}$ 을 ${(x^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.3.8

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.8.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.3.8.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.3.8.3

$u$ 를 모두 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.3.9

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.3.10

$y$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{1}{x^{3}} (4 \cdot y x^{3} + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.3.11

$4 y x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x^{3}} (4 y x^{3}) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.3.12

$4$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{x^{3}} (y x^{3}) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.3.13

$y$ 와 $\frac{4}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{y \cdot 4}{x^{3}} x^{3} + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.3.14

$\frac{y \cdot 4}{x^{3}}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{y \cdot 4 x^{3}}{x^{3}} + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.3.15

$y$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{4 \cdot y x^{3}}{x^{3}} + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.3.16

$x^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.16.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 y x^{3}}{x^{3}} + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.3.16.2

$4 y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.3.17

${(x^{3})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.17.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.3.17.2

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.3.18

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.3.19

지수를 더하여 $x^{- 6}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.19.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.3.19.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.3.19.3

$2$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 x^{- 4}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$4 y + x^{4} y (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.5.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.5.3.1

$- 3$ 와 $\frac{1}{x^{4}}$ 을 묶습니다.

$4 y + x^{4} y \frac{- 3}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.5.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$4 y + x^{4} y (- \frac{3}{x^{4}}) + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.5.3.3

$x^{4}$ 와 $\frac{3}{x^{4}}$ 을 묶습니다.

$4 y + y (- \frac{x^{4} \cdot 3}{x^{4}}) + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.5.3.4

$y$ 와 $\frac{x^{4} \cdot 3}{x^{4}}$ 을 묶습니다.

$4 y - \frac{y (x^{4} \cdot 3)}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.5.3.5

$x^{4}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$4 y - \frac{y (3 \cdot x^{4})}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.5.3.6

$y$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$4 y - \frac{3 \cdot y x^{4}}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.5.3.7

$x^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.5.3.7.1

공약수로 약분합니다.

$4 y - \frac{3 y x^{4}}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.5.3.7.2

$3 y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 y - (3 y) + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.5.3.8

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 y - 3 y + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.5.3.9

$- 3$ 와 $\frac{1}{x^{4}}$ 을 묶습니다.

$4 y - 3 y + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{- 3}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.5.3.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$4 y - 3 y + \frac{y^{3}}{3} (- \frac{3}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.5.3.11

$\frac{y^{3}}{3}$ 에 $\frac{3}{x^{4}}$ 을 곱합니다.

$4 y - 3 y - \frac{y^{3} \cdot 3}{3 x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.5.3.12

$y^{3}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$4 y - 3 y - \frac{3 \cdot y^{3}}{3 x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.5.3.13

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.5.3.13.1

공약수로 약분합니다.

$4 y - 3 y - \frac{3 y^{3}}{3 x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.5.3.13.2

수식을 다시 씁니다.

$4 y - 3 y - \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.5.3.14

$4 y$ 에서 $3 y$ 을 뺍니다.

$y - \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 11.5.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + y - \frac{y^{3}}{x^{4}} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

단계 12

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.1

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 12.1.1

방정식의 양변에서 $\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} + y - \frac{y^{3}}{x^{4}} - \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

단계 12.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

단계 12.1.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} + (- y x^{2} - y \cdot y) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

단계 12.1.3.2

지수를 더하여 $y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

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단계 12.1.3.2.1

$y$ 를 옮깁니다.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} + (- y x^{2} - (y \cdot y)) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

단계 12.1.3.2.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} + (- y x^{2} - y^{2}) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

단계 12.1.3.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(- y x^{2} - y^{2}) (x^{2} - y)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{2} (x^{2} - y) - y^{2} (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

단계 12.1.3.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{2} x^{2} - y x^{2} (- y) - y^{2} (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

단계 12.1.3.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{2} x^{2} - y x^{2} (- y) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

단계 12.1.3.4

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.3.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.3.4.1.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.3.4.1.1.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y (x^{2} x^{2}) - y x^{2} (- y) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

단계 12.1.3.4.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{2 + 2} - y x^{2} (- y) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

단계 12.1.3.4.1.1.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} - y x^{2} (- y) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

단계 12.1.3.4.1.2

지수를 더하여 $y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.3.4.1.2.1

$y$ 를 옮깁니다.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} - (y \cdot y) x^{2} \cdot - 1 - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

단계 12.1.3.4.1.2.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} - y^{2} x^{2} \cdot - 1 - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

단계 12.1.3.4.1.3

$- y^{2} x^{2} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.3.4.1.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + 1 y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

단계 12.1.3.4.1.3.2

$y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

단계 12.1.3.4.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} y}{x^{4}} = 0$

단계 12.1.3.4.1.5

지수를 더하여 $y^{2}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.3.4.1.5.1

$y$ 를 옮깁니다.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 (y \cdot y^{2})}{x^{4}} = 0$

단계 12.1.3.4.1.5.2

$y$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.3.4.1.5.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 (y^{1} y^{2})}{x^{4}} = 0$

단계 12.1.3.4.1.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{1 + 2}}{x^{4}} = 0$

단계 12.1.3.4.1.5.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{3}}{x^{4}} = 0$

단계 12.1.3.4.1.6

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} + 1 y^{3}}{x^{4}} = 0$

단계 12.1.3.4.1.7

$y^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} + y^{3}}{x^{4}} = 0$

단계 12.1.3.4.2

$y^{2} x^{2}$ 에서 $y^{2} x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + 0 + y^{3}}{x^{4}} = 0$

단계 12.1.3.4.3

$- y x^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{3}}{x^{4}} = 0$

단계 12.1.4

$- y^{3} - y x^{4} + y^{3}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 12.1.4.1

$- y^{3}$ 를 $y^{3}$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y x^{4} + 0}{x^{4}} = 0$

단계 12.1.4.2

$- y x^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y x^{4}}{x^{4}} = 0$

단계 12.1.5

$x^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.1.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y x^{4}}{x^{4}} = 0$

단계 12.1.5.2

$- y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d g}{d x} + y - y = 0$

단계 12.1.6

$\frac{d g}{d x} + y - y$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 12.1.6.1

$y$ 에서 $y$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} + 0 = 0$

단계 12.1.6.2

$\frac{d g}{d x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = 0$

단계 13

$0$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

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단계 13.1

$\frac{d g}{d x} = 0$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

단계 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int 0 d x$

단계 13.3

$0$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $0$ 입니다.

$g (x) = 0 + C$

단계 13.4

$0$ 를 $C$ 에 더합니다.

$g (x) = C$

단계 14

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + C$

단계 15

각 항을 간단히 합니다.

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단계 15.1

$\frac{1}{3}$ 와 $y^{3}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) + C$

단계 15.2

$\frac{1}{x^{3}}$ 에 $x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}}{x^{3}} + C$

단계 15.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 15.3.1

$x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

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단계 15.3.1.1

$x^{4} y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{y x^{4} + \frac{y^{3}}{3}}{x^{3}} + C$

단계 15.3.1.2

$\frac{y^{3}}{3}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{y x^{4} + y \frac{y^{2}}{3}}{x^{3}} + C$

단계 15.3.1.3

$y x^{4} + y \frac{y^{2}}{3}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{y (x^{4} + \frac{y^{2}}{3})}{x^{3}} + C$

단계 15.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $x^{4}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{y (x^{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y^{2}}{3})}{x^{3}} + C$

단계 15.3.3

$x^{4}$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{y (\frac{x^{4} \cdot 3}{3} + \frac{y^{2}}{3})}{x^{3}} + C$

단계 15.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{y \frac{x^{4} \cdot 3 + y^{2}}{3}}{x^{3}} + C$

단계 15.3.5

$x^{4}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$f (x, y) = \frac{y \frac{3 x^{4} + y^{2}}{3}}{x^{3}} + C$

단계 15.4

$y$ 와 $\frac{3 x^{4} + y^{2}}{3}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{\frac{y (3 x^{4} + y^{2})}{3}}{x^{3}} + C$

단계 15.5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{y (3 x^{4} + y^{2})}{3} \cdot \frac{1}{x^{3}} + C$

단계 15.6

조합합니다.

$f (x, y) = \frac{y (3 x^{4} + y^{2}) \cdot 1}{3 x^{3}} + C$

단계 15.7

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{y (3 x^{4} + y^{2})}{3 x^{3}} + C$