미적분 예제

$(2 x + 3) d x + (x^{2} - 1) d y = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $(2 x + 3) d x$ 를 뺍니다.

$(x^{2} - 1) d y = - (2 x + 3) d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{x^{2} - 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{2} - 1} (x^{2} - 1) d y = \frac{1}{x^{2} - 1} (- (2 x + 3)) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$x^{2} - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{x^{2} - 1} (x^{2} - 1) d y = \frac{1}{x^{2} - 1} (- (2 x + 3)) d x$

단계 3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$1 d y = \frac{1}{x^{2} - 1} (- (2 x + 3)) d x$

단계 3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$1 d y = - \frac{1}{x^{2} - 1} (2 x + 3) d x$

단계 3.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$1 d y = - \frac{1}{x^{2} - 1^{2}} (2 x + 3) d x$

단계 3.3.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$1 d y = - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} (2 x + 3) d x$

단계 3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$1 d y = (- \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} (2 x) - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot 3) d x$

단계 3.5

$- \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} (2 x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 d y = (- 2 \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} x - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot 3) d x$

단계 3.5.2

$- 2$ 와 $\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ 을 묶습니다.

$1 d y = (\frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)} x - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot 3) d x$

단계 3.5.3

$\frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$1 d y = (\frac{- 2 x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot 3) d x$

단계 3.6

$- \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot 3$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 d y = (\frac{- 2 x}{(x + 1) (x - 1)} - 3 \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}) d x$

단계 3.6.2

$- 3$ 와 $\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ 을 묶습니다.

$1 d y = (\frac{- 2 x}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 3}{(x + 1) (x - 1)}) d x$

단계 3.7

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$1 d y = (- \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 3}{(x + 1) (x - 1)}) d x$

단계 3.7.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$1 d y = (- \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)}) d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

단계 4.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y + C_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

단계 4.3.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = - \int \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

단계 4.3.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x) + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

단계 4.3.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

단계 4.3.5

먼저 $u_{1} = (x + 1) (x - 1)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.5.1

$u_{1} = (x + 1) (x - 1)$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.5.1.1

$(x + 1) (x - 1)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

단계 4.3.5.1.2

$f (x) = x + 1$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 4.3.5.1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.5.1.3.1

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 4.3.5.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 4.3.5.1.3.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 4.3.5.1.3.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.5.1.3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 4.3.5.1.3.4.2

$x + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 4.3.5.1.3.5

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 4.3.5.1.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 4.3.5.1.3.7

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

단계 4.3.5.1.3.8

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.5.1.3.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

단계 4.3.5.1.3.8.2

$x - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x + 1 + x - 1$

단계 4.3.5.1.3.8.3

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$2 x + 1 - 1$

단계 4.3.5.1.3.8.4

숫자를 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.5.1.3.8.4.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$2 x + 0$

단계 4.3.5.1.3.8.4.2

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 4.3.5.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

단계 4.3.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.6.1

$\frac{1}{u_{1}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

단계 4.3.6.2

$u_{1}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

단계 4.3.7

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

단계 4.3.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.8.1

$\frac{1}{2}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

단계 4.3.8.2

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.8.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

단계 4.3.8.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.8.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

단계 4.3.8.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

단계 4.3.8.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

단계 4.3.8.2.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

단계 4.3.9

$\frac{1}{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{1} |)$ 입니다.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \int - \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

단계 4.3.10

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - \int \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} d x$

단계 4.3.11

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - (3 \int \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} d x)$

단계 4.3.12

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 \int \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} d x$

단계 4.3.13

부분 분수 분해를 사용하여 분수를 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.13.1

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.13.1.1

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $A$ 를 적습니다.

$\frac{A}{x + 1}$

단계 4.3.13.1.2

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $B$ 를 적습니다.

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

단계 4.3.13.1.3

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 $(x + 1) (x - 1)$ 입니다.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

단계 4.3.13.1.4

$x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.13.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

단계 4.3.13.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

단계 4.3.13.1.5

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.13.1.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

단계 4.3.13.1.5.2

수식을 다시 씁니다.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

단계 4.3.13.1.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.13.1.6.1

$x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.13.1.6.1.1

공약수로 약분합니다.

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

단계 4.3.13.1.6.1.2

$(A) (x - 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

단계 4.3.13.1.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

단계 4.3.13.1.6.3

$A$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

단계 4.3.13.1.6.4

$- 1 A$ 을 $- A$ 로 바꿔 씁니다.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

단계 4.3.13.1.6.5

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.13.1.6.5.1

공약수로 약분합니다.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

단계 4.3.13.1.6.5.2

$(B) (x + 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

단계 4.3.13.1.6.6

분배 법칙을 적용합니다.

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

단계 4.3.13.1.6.7

$B$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 = A x - A + B x + B$

단계 4.3.13.1.7

$- A$ 를 옮깁니다.

$1 = A x + B x - A + B$

단계 4.3.13.2

부분분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.13.2.1

방정식의 각 변의 $x$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$0 = A + B$

단계 4.3.13.2.2

$x$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$1 = - 1 A + B$

단계 4.3.13.2.3

부분분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

단계 4.3.13.3

연립방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.13.3.1

$0 = A + B$ 의 $A$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.13.3.1.1

$A + B = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

단계 4.3.13.3.1.2

방정식의 양변에서 $B$ 를 뺍니다.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

단계 4.3.13.3.2

각 방정식에서 $A$ 를 모두 $- B$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.13.3.2.1

$1 = - 1 A + B$ 의 $A$ 를 모두 $- B$ 로 바꿉니다.

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

단계 4.3.13.3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.13.3.2.2.1

$- 1 (- B) + B$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.13.3.2.2.1.1

$- 1 (- B)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.13.3.2.2.1.1.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

단계 4.3.13.3.2.2.1.1.2

$B$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

단계 4.3.13.3.2.2.1.2

$B$ 를 $B$ 에 더합니다.

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

단계 4.3.13.3.3

$1 = 2 B$ 의 $B$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.13.3.3.1

$2 B = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$2 B = 1$

$A = - B$

단계 4.3.13.3.3.2

$2 B = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.13.3.3.2.1

$2 B = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

단계 4.3.13.3.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.13.3.3.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.13.3.3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

단계 4.3.13.3.3.2.2.1.2

$B$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

단계 4.3.13.3.4

각 방정식에서 $B$ 를 모두 $\frac{1}{2}$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.13.3.4.1

$A = - B$ 의 $B$ 를 모두 $\frac{1}{2}$ 로 바꿉니다.

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

단계 4.3.13.3.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.13.3.4.2.1

$- 1$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

단계 4.3.13.3.5

모든 해를 나열합니다.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

단계 4.3.13.4

$A$ , $B$ 에 대해 구한 값을 $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

단계 4.3.13.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.13.5.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

단계 4.3.13.5.2

$\frac{1}{x + 1}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

단계 4.3.13.5.3

$x + 1$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

단계 4.3.13.5.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

단계 4.3.13.5.5

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{x - 1}$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 \int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

단계 4.3.14

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (\int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

단계 4.3.15

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (- \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

단계 4.3.16

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

단계 4.3.17

먼저 $u_{2} = x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.17.1

$u_{2} = x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.17.1.1

$x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 4.3.17.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.3.17.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.3.17.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 4.3.17.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 4.3.17.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

단계 4.3.18

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{3}) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

단계 4.3.19

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{3}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x)$

단계 4.3.20

먼저 $u_{3} = x - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{3} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{3}$ 와 $d$ $u_{3}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.20.1

$u_{3} = x - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{3}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.20.1.1

$x - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 4.3.20.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 4.3.20.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 4.3.20.1.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 4.3.20.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 4.3.20.2

$u_{3}$ 와 $d u_{3}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{3}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

단계 4.3.21

$\frac{1}{u_{3}}$ 를 $u_{3}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{3} |)$ 입니다.

$y + C_{1} = - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{3}) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{3} |) + C_{4}))$

단계 4.3.22

간단히 합니다.

$y + C_{1} = - \ln (| u_{1} |) - 3 (- \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{3} |)) + C_{5}$

단계 4.3.23

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.23.1

$u_{1}$ 를 모두 $(x + 1) (x - 1)$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) - 3 (- \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{3} |)) + C_{5}$

단계 4.3.23.2

$u_{2}$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) - 3 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{3} |)) + C_{5}$

단계 4.3.23.3

$u_{3}$ 를 모두 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) - 3 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C_{5}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$y = - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) - 3 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C$