미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + y = x y^{2}$

단계 1

미분 방정식을 풀려면 $y^{2}$ 의 지수가 $n$ 일 때 $v = y^{1 - n}$ 로 둡니다.

$v = y^{- 1}$

단계 2

$y$ 에 대해 식을 풉니다.

$y = v^{- 1}$

단계 3

$x$ 에 대해 $y$ 의 도함수를 구합니다.

$y' = v^{- 1}$

단계 4

$x$ 에 대해 $v^{- 1}$ 의 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$v^{- 1}$ 도함수를 구합니다.

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

단계 4.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

단계 4.3

$f (x) = 1$ , $g (x) = v$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

단계 4.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

단계 4.4.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

단계 4.4.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.3.1

$v$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

단계 4.4.3.2

$0$ 에서 $\frac{d}{d x} [v]$ 을 뺍니다.

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

단계 4.4.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

단계 4.5

$\frac{d}{d x} [v]$ 을 $v'$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

단계 5

원래 방정식 $\frac{d y}{d x} + y = x y^{2}$ 에서 $\frac{d y}{d x}$ 은 $- \frac{v'}{v^{2}}$ 으로, $y$ 은 $v^{- 1}$ 로 치환합니다.

$- \frac{v'}{v^{2}} + v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$

단계 6

치환 미분 방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$ 의 각 항에 $- v^{2}$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$ 의 각 항에 $- v^{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 6.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.2.1.1

$v^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.2.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 6.1.2.1.1.2

$- v^{2}$ 에서 $v^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 6.1.2.1.1.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 6.1.2.1.1.4

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 6.1.2.1.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{d v}{d x} + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 6.1.2.1.3

$\frac{d v}{d x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 6.1.2.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d x} - v^{- 1} v^{2} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 6.1.2.1.5

지수를 더하여 $v^{- 1}$ 에 $v^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.2.1.5.1

$v^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{d v}{d x} - (v^{2} v^{- 1}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 6.1.2.1.5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d v}{d x} - v^{2 - 1} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 6.1.2.1.5.3

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{d v}{d x} - v^{1} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 6.1.2.1.6

$- v^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{d v}{d x} - v = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

단계 6.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d x} - v = - x {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

단계 6.1.3.2

${(v^{- 1})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.3.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

단계 6.1.3.2.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{- 2} v^{2}$

단계 6.1.3.3

지수를 더하여 $v^{- 2}$ 에 $v^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.3.3.1

$v^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{d v}{d x} - v = - x (v^{2} v^{- 2})$

단계 6.1.3.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{2 - 2}$

단계 6.1.3.3.3

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{0}$

단계 6.1.3.4

$- x v^{0}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{d v}{d x} - v = - x$

단계 6.2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = - 1$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int - 1 d x}$

단계 6.2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{- x + C}$

단계 6.2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{- x}$

단계 6.3

각 항에 적분 인수 $e^{- x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

각 항에 $e^{- x}$ 을 곱합니다.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} + e^{- x} (- v) = e^{- x} (- x)$

단계 6.3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = e^{- x} (- x)$

단계 6.3.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - e^{- x} x$

단계 6.3.4

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - e^{- x} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - v e^{- x} = - x e^{- x}$

단계 6.4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} v] = - x e^{- x}$

단계 6.5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} v] d x = \int - x e^{- x} d x$

단계 6.6

좌변을 적분합니다.

$e^{- x} v = \int - x e^{- x} d x$

단계 6.7

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- x} v = - \int x e^{- x} d x$

단계 6.7.2

$u = x$ 이고 $d v = e^{- x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

단계 6.7.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

단계 6.7.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

단계 6.7.4.2

$\int e^{- x} d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

단계 6.7.5

먼저 $u = - x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d x$ 이므로 $- d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.5.1

$u = - x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.5.1.1

$- x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- x]$

단계 6.7.5.1.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x]$

단계 6.7.5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 6.7.5.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 6.7.5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

단계 6.7.6

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

단계 6.7.7

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$

단계 6.7.8

$- (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$ 을 $- (- x e^{- x} - e^{u}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{- x} v = - (- x e^{- x} - e^{u}) + C$

단계 6.7.9

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$e^{- x} v = - (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$

단계 6.7.10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{- x} v = - (- x e^{- x}) - - e^{- x} + C$

단계 6.7.10.2

$- (- x e^{- x})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.10.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- x} v = 1 (x e^{- x}) - - e^{- x} + C$

단계 6.7.10.2.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{- x} v = x e^{- x} - - e^{- x} + C$

단계 6.7.10.3

$- - e^{- x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.10.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- x} v = x e^{- x} + 1 e^{- x} + C$

단계 6.7.10.3.2

$e^{- x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{- x} v = x e^{- x} + e^{- x} + C$

단계 6.8

$e^{- x} v = x e^{- x} + e^{- x} + C$ 의 각 항을 $e^{- x}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.1

$e^{- x} v = x e^{- x} + e^{- x} + C$ 의 각 항을 $e^{- x}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

단계 6.8.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.2.1

$e^{- x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

단계 6.8.2.1.2

$v$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$v = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

단계 6.8.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.3.1.1

$e^{- x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$v = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

단계 6.8.3.1.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$v = x + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

단계 6.8.3.1.2

$e^{- x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$v = x + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

단계 6.8.3.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$v = x + 1 + \frac{C}{e^{- x}}$

단계 7

$v$ 에 $y^{- 1}$ 를 대입합니다.

$y^{- 1} = x + 1 + \frac{C}{e^{- x}}$